Основы мат. анализа Примеры

$3 \log (x + y) + 2 \log (x - y) - \log (x^{2} - y^{2})$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $3 \log (x + y)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\log ({(x + y)}^{3}) + 2 \log (x - y) - \log (x^{2} - y^{2})$

Этап 1.2

Упростим $2 \log (x - y)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log ({(x + y)}^{3}) + \log ({(x - y)}^{2}) - \log (x^{2} - y^{2})$

Этап 2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ({(x + y)}^{3} {(x - y)}^{2}) - \log (x^{2} - y^{2})$

Этап 3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{{(x + y)}^{3} {(x - y)}^{2}}{x^{2} - y^{2}})$

Этап 4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = y$ .

$\log (\frac{{(x + y)}^{3} {(x - y)}^{2}}{(x + y) (x - y)})$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель ${(x + y)}^{3}$ и $x + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $x + y$ из ${(x + y)}^{3} {(x - y)}^{2}$ .

$\log (\frac{(x + y) ({(x + y)}^{2} {(x - y)}^{2})}{(x + y) (x - y)})$

Этап 5.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\log (\frac{(x + y) ({(x + y)}^{2} {(x - y)}^{2})}{(x + y) (x - y)})$

Этап 5.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\log (\frac{{(x + y)}^{2} {(x - y)}^{2}}{x - y})$

Этап 5.2

Сократим общий множитель ${(x - y)}^{2}$ и $x - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $x - y$ из ${(x + y)}^{2} {(x - y)}^{2}$ .

$\log (\frac{(x - y) ({(x + y)}^{2} (x - y))}{x - y})$

Этап 5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Умножим на $1$ .

$\log (\frac{(x - y) ({(x + y)}^{2} (x - y))}{(x - y) \cdot 1})$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\log (\frac{(x - y) ({(x + y)}^{2} (x - y))}{(x - y) \cdot 1})$

Этап 5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\log (\frac{{(x + y)}^{2} (x - y)}{1})$

Этап 5.2.2.4

Разделим ${(x + y)}^{2} (x - y)$ на $1$ .

$\log ({(x + y)}^{2} (x - y))$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\log ({(x + y)}^{2} x + {(x + y)}^{2} (- y))$

Этап 5.4

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\log ({(x + y)}^{2} x - {(x + y)}^{2} y)$

Этап 5.4.2

Изменим порядок множителей в $\log ({(x + y)}^{2} x - {(x + y)}^{2} y)$ .

$\log (x {(x + y)}^{2} - y {(x + y)}^{2})$