Основы мат. анализа Примеры

$4 \ln (x^{3}) - 3 \ln (y^{3}) - 2 \ln (z^{7}) + \ln (x)$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $4 \ln (x^{3})$ путем переноса $4$ под логарифм.

$\ln ({(x^{3})}^{4}) - 3 \ln (y^{3}) - 2 \ln (z^{7}) + \ln (x)$

Этап 1.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (x^{3 \cdot 4}) - 3 \ln (y^{3}) - 2 \ln (z^{7}) + \ln (x)$

Этап 1.2.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\ln (x^{12}) - 3 \ln (y^{3}) - 2 \ln (z^{7}) + \ln (x)$

Этап 1.3

Упростим $- 3 \ln (y^{3})$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\ln (x^{12}) - \ln ({(y^{3})}^{3}) - 2 \ln (z^{7}) + \ln (x)$

Этап 1.4

Перемножим экспоненты в ${(y^{3})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (x^{12}) - \ln (y^{3 \cdot 3}) - 2 \ln (z^{7}) + \ln (x)$

Этап 1.4.2

Умножим $3$ на $3$ .

$\ln (x^{12}) - \ln (y^{9}) - 2 \ln (z^{7}) + \ln (x)$

Этап 1.5

Упростим $- 2 \ln (z^{7})$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln (x^{12}) - \ln (y^{9}) - \ln ({(z^{7})}^{2}) + \ln (x)$

Этап 1.6

Перемножим экспоненты в ${(z^{7})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (x^{12}) - \ln (y^{9}) - \ln (z^{7 \cdot 2}) + \ln (x)$

Этап 1.6.2

Умножим $7$ на $2$ .

$\ln (x^{12}) - \ln (y^{9}) - \ln (z^{14}) + \ln (x)$

Этап 2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x^{12}}{y^{9}}) - \ln (z^{14}) + \ln (x)$

Этап 3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{x^{12}}{y^{9}}}{z^{14}}) + \ln (x)$

Этап 4

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (\frac{\frac{x^{12}}{y^{9}}}{z^{14}} x)$

Этап 5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\ln (\frac{x^{12}}{y^{9}} \cdot \frac{1}{z^{14}} x)$

Этап 6

Объединим.

$\ln (\frac{x^{12} \cdot 1}{y^{9} z^{14}} x)$

Этап 7

Умножим $x^{12}$ на $1$ .

$\ln (\frac{x^{12}}{y^{9} z^{14}} x)$

Этап 8

Умножим $\frac{x^{12}}{y^{9} z^{14}} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{x^{12}}{y^{9} z^{14}}$ и $x$ .

$\ln (\frac{x^{12} x}{y^{9} z^{14}})$

Этап 8.2

Умножим $x^{12}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $x^{12}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\ln (\frac{x^{12} x^{1}}{y^{9} z^{14}})$

Этап 8.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\ln (\frac{x^{12 + 1}}{y^{9} z^{14}})$

Этап 8.2.2

Добавим $12$ и $1$ .

$\ln (\frac{x^{13}}{y^{9} z^{14}})$