Основы мат. анализа Примеры

$8 \log_{a} (0.25 m) + 12 \log_{a} (0.25 n) - 3 \log_{a} (0.25 a) + 5 \log_{a} (0.25 b)$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $8 \log_{a} (0.25 m)$ путем переноса $8$ под логарифм.

$\log_{a} ({(0.25 m)}^{8}) + 12 \log_{a} (0.25 n) - 3 \log_{a} (0.25 a) + 5 \log_{a} (0.25 b)$

Этап 1.2

Применим правило умножения к $0.25 m$ .

$\log_{a} ({0.25}^{8} m^{8}) + 12 \log_{a} (0.25 n) - 3 \log_{a} (0.25 a) + 5 \log_{a} (0.25 b)$

Этап 1.3

Возведем $0.25$ в степень $8$ .

$\log_{a} (0.00001525 m^{8}) + 12 \log_{a} (0.25 n) - 3 \log_{a} (0.25 a) + 5 \log_{a} (0.25 b)$

Этап 1.4

Упростим $12 \log_{a} (0.25 n)$ путем переноса $12$ под логарифм.

$\log_{a} (0.00001525 m^{8}) + \log_{a} ({(0.25 n)}^{12}) - 3 \log_{a} (0.25 a) + 5 \log_{a} (0.25 b)$

Этап 1.5

Применим правило умножения к $0.25 n$ .

$\log_{a} (0.00001525 m^{8}) + \log_{a} ({0.25}^{12} n^{12}) - 3 \log_{a} (0.25 a) + 5 \log_{a} (0.25 b)$

Этап 1.6

Возведем $0.25$ в степень $12$ .

$\log_{a} (0.00001525 m^{8}) + \log_{a} (0.00000005 n^{12}) - 3 \log_{a} (0.25 a) + 5 \log_{a} (0.25 b)$

Этап 1.7

Упростим $- 3 \log_{a} (0.25 a)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\log_{a} (0.00001525 m^{8}) + \log_{a} (0.00000005 n^{12}) - \log_{a} ({(0.25 a)}^{3}) + 5 \log_{a} (0.25 b)$

Этап 1.8

Применим правило умножения к $0.25 a$ .

$\log_{a} (0.00001525 m^{8}) + \log_{a} (0.00000005 n^{12}) - \log_{a} ({0.25}^{3} a^{3}) + 5 \log_{a} (0.25 b)$

Этап 1.9

Перепишем $\log_{a} ({0.25}^{3} a^{3})$ в виде $\log_{a} ({0.25}^{3}) + \log_{a} (a^{3})$ .

$\log_{a} (0.00001525 m^{8}) + \log_{a} (0.00000005 n^{12}) - (\log_{a} ({0.25}^{3}) + \log_{a} (a^{3})) + 5 \log_{a} (0.25 b)$

Этап 1.10

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $3$ из степени.

$\log_{a} (0.00001525 m^{8}) + \log_{a} (0.00000005 n^{12}) - (\log_{a} ({0.25}^{3}) + 3 \log_{a} (a)) + 5 \log_{a} (0.25 b)$

Этап 1.11

Логарифм $a$ по основанию $a$ равен $1$ .

$\log_{a} (0.00001525 m^{8}) + \log_{a} (0.00000005 n^{12}) - (\log_{a} ({0.25}^{3}) + 3 \cdot 1) + 5 \log_{a} (0.25 b)$

Этап 1.12

Умножим $3$ на $1$ .

$\log_{a} (0.00001525 m^{8}) + \log_{a} (0.00000005 n^{12}) - (\log_{a} ({0.25}^{3}) + 3) + 5 \log_{a} (0.25 b)$

Этап 1.13

Возведем $0.25$ в степень $3$ .

$\log_{a} (0.00001525 m^{8}) + \log_{a} (0.00000005 n^{12}) - (\log_{a} (0.015625) + 3) + 5 \log_{a} (0.25 b)$

Этап 1.14

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{a} (0.00001525 m^{8}) + \log_{a} (0.00000005 n^{12}) - \log_{a} (0.015625) - 1 \cdot 3 + 5 \log_{a} (0.25 b)$

Этап 1.15

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\log_{a} (0.00001525 m^{8}) + \log_{a} (0.00000005 n^{12}) - \log_{a} (0.015625) - 3 + 5 \log_{a} (0.25 b)$

Этап 1.16

Упростим $5 \log_{a} (0.25 b)$ путем переноса $5$ под логарифм.

$\log_{a} (0.00001525 m^{8}) + \log_{a} (0.00000005 n^{12}) - \log_{a} (0.015625) - 3 + \log_{a} ({(0.25 b)}^{5})$

Этап 1.17

Применим правило умножения к $0.25 b$ .

$\log_{a} (0.00001525 m^{8}) + \log_{a} (0.00000005 n^{12}) - \log_{a} (0.015625) - 3 + \log_{a} ({0.25}^{5} b^{5})$

Этап 1.18

Возведем $0.25$ в степень $5$ .

$\log_{a} (0.00001525 m^{8}) + \log_{a} (0.00000005 n^{12}) - \log_{a} (0.015625) - 3 + \log_{a} (0.00097656 b^{5})$

Этап 2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{a} (0.00001525 m^{8} (0.00000005 n^{12})) - \log_{a} (0.015625) - 3 + \log_{a} (0.00097656 b^{5})$

Этап 3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{a} (\frac{0.00001525 m^{8} (0.00000005 n^{12})}{0.015625}) - 3 + \log_{a} (0.00097656 b^{5})$

Этап 4

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{a} (\frac{0.00001525 m^{8} (0.00000005 n^{12})}{0.015625} (0.00097656 b^{5})) - 3$

Этап 5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\log_{a} (0.00097656 \frac{0.00001525 m^{8} \cdot 0.00000005 n^{12}}{0.015625} b^{5}) - 3$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $0.00097656$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $0.00097656$ из $0.015625$ .

$\log_{a} (0.00097656 \frac{0.00001525 m^{8} \cdot 0.00000005 n^{12}}{0.00097656 (16)} b^{5}) - 3$

Этап 5.2.2

Сократим общий множитель.

$\log_{a} (0.00097656 \frac{0.00001525 m^{8} \cdot 0.00000005 n^{12}}{0.00097656 \cdot 16} b^{5}) - 3$

Этап 5.2.3

Перепишем это выражение.

$\log_{a} (\frac{0.00001525 m^{8} \cdot 0.00000005 n^{12}}{16} b^{5}) - 3$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $0.00001525$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $0.00001525$ из $0.00001525 m^{8} \cdot 0.00000005 n^{12}$ .

$\log_{a} (\frac{0.00001525 (m^{8} \cdot 0.00000005 n^{12})}{16} b^{5}) - 3$

Этап 5.3.2

Сократим общий множитель.

$\log_{a} (\frac{0.00001525 (m^{8} \cdot 0.00000005 n^{12})}{16} b^{5}) - 3$

Этап 5.3.3

Перепишем это выражение.

$\log_{a} (\frac{m^{8} \cdot 0.00000005 n^{12}}{16} \cdot \frac{b^{5}}{65536}) - 3$

Этап 5.4

Умножим $\frac{m^{8} \cdot 0.00000005 n^{12}}{16}$ на $\frac{b^{5}}{65536}$ .

$\log_{a} (\frac{m^{8} \cdot 0.00000005 n^{12} b^{5}}{16 \cdot 65536}) - 3$

Этап 5.5

Умножим $16$ на $65536$ .

$\log_{a} (\frac{m^{8} \cdot 0.00000005 n^{12} b^{5}}{1048576}) - 3$

Этап 5.6

Перенесем $0.00000005$ влево от $m^{8}$ .

$\log_{a} (\frac{0.00000005 \cdot m^{8} n^{12} b^{5}}{1048576}) - 3$

Этап 5.7

Вынесем множитель $0.00000005$ из $0.00000005 \cdot m^{8} n^{12} b^{5}$ .

$\log_{a} (\frac{0.00000005 (m^{8} n^{12} b^{5})}{1048576}) - 3$

Этап 5.8

Вынесем множитель $1048576$ из $1048576$ .

$\log_{a} (\frac{0.00000005 (m^{8} n^{12} b^{5})}{1048576 (1)}) - 3$

Этап 5.9

Разделим дроби.

$\log_{a} (\frac{0.00000005}{1048576} \cdot \frac{m^{8} n^{12} b^{5}}{1}) - 3$

Этап 5.10

Разделим $0.00000005$ на $1048576$ .

$\log_{a} (0 \frac{m^{8} n^{12} b^{5}}{1}) - 3$

Этап 5.11

Разделим $m^{8} n^{12} b^{5}$ на $1$ .

$\log_{a} (0 m^{8} n^{12} b^{5}) - 3$