Основы мат. анализа Примеры

$6 \log_{2} (\frac{2}{3}) + 2 \log_{2} (\frac{1}{6}) - 4 \log_{2} (\frac{2}{9})$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $6 \log_{2} (\frac{2}{3})$ путем переноса $6$ под логарифм.

$\log_{2} ({(\frac{2}{3})}^{6}) + 2 \log_{2} (\frac{1}{6}) - 4 \log_{2} (\frac{2}{9})$

Этап 1.2

Применим правило умножения к $\frac{2}{3}$ .

$\log_{2} (\frac{2^{6}}{3^{6}}) + 2 \log_{2} (\frac{1}{6}) - 4 \log_{2} (\frac{2}{9})$

Этап 1.3

Возведем $2$ в степень $6$ .

$\log_{2} (\frac{64}{3^{6}}) + 2 \log_{2} (\frac{1}{6}) - 4 \log_{2} (\frac{2}{9})$

Этап 1.4

Возведем $3$ в степень $6$ .

$\log_{2} (\frac{64}{729}) + 2 \log_{2} (\frac{1}{6}) - 4 \log_{2} (\frac{2}{9})$

Этап 1.5

Упростим $2 \log_{2} (\frac{1}{6})$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log_{2} (\frac{64}{729}) + \log_{2} ({(\frac{1}{6})}^{2}) - 4 \log_{2} (\frac{2}{9})$

Этап 1.6

Применим правило умножения к $\frac{1}{6}$ .

$\log_{2} (\frac{64}{729}) + \log_{2} (\frac{1^{2}}{6^{2}}) - 4 \log_{2} (\frac{2}{9})$

Этап 1.7

Единица в любой степени равна единице.

$\log_{2} (\frac{64}{729}) + \log_{2} (\frac{1}{6^{2}}) - 4 \log_{2} (\frac{2}{9})$

Этап 1.8

Возведем $6$ в степень $2$ .

$\log_{2} (\frac{64}{729}) + \log_{2} (\frac{1}{36}) - 4 \log_{2} (\frac{2}{9})$

Этап 1.9

Упростим $- 4 \log_{2} (\frac{2}{9})$ путем переноса $4$ под логарифм.

$\log_{2} (\frac{64}{729}) + \log_{2} (\frac{1}{36}) - \log_{2} ({(\frac{2}{9})}^{4})$

Этап 1.10

Применим правило умножения к $\frac{2}{9}$ .

$\log_{2} (\frac{64}{729}) + \log_{2} (\frac{1}{36}) - \log_{2} (\frac{2^{4}}{9^{4}})$

Этап 1.11

Возведем $2$ в степень $4$ .

$\log_{2} (\frac{64}{729}) + \log_{2} (\frac{1}{36}) - \log_{2} (\frac{16}{9^{4}})$

Этап 1.12

Возведем $9$ в степень $4$ .

$\log_{2} (\frac{64}{729}) + \log_{2} (\frac{1}{36}) - \log_{2} (\frac{16}{6561})$

Этап 2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} (\frac{64}{729} \cdot \frac{1}{36}) - \log_{2} (\frac{16}{6561})$

Этап 3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{\frac{64}{729} \cdot \frac{1}{36}}{\frac{16}{6561}})$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\log_{2} (\frac{64}{729} \cdot \frac{1}{36} \frac{6561}{16})$

Этап 5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $4$ из $64$ .

$\log_{2} (\frac{4 (16)}{729} \cdot \frac{1}{36} \frac{6561}{16})$

Этап 5.2

Вынесем множитель $4$ из $36$ .

$\log_{2} (\frac{4 \cdot 16}{729} \cdot \frac{1}{4 \cdot 9} \frac{6561}{16})$

Этап 5.3

Сократим общий множитель.

$\log_{2} (\frac{4 \cdot 16}{729} \cdot \frac{1}{4 \cdot 9} \frac{6561}{16})$

Этап 5.4

Перепишем это выражение.

$\log_{2} (\frac{16}{729} \cdot \frac{1}{9} \frac{6561}{16})$

Этап 6

Умножим $\frac{16}{729}$ на $\frac{1}{9}$ .

$\log_{2} (\frac{16}{729 \cdot 9} \cdot \frac{6561}{16})$

Этап 7

Умножим $729$ на $9$ .

$\log_{2} (\frac{16}{6561} \cdot \frac{6561}{16})$

Этап 8

Сократим общий множитель $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Сократим общий множитель.

$\log_{2} (\frac{16}{6561} \cdot \frac{6561}{16})$

Этап 8.2

Перепишем это выражение.

$\log_{2} (\frac{1}{6561} \cdot 6561)$

Этап 9

Сократим общий множитель $6561$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Сократим общий множитель.

$\log_{2} (\frac{1}{6561} \cdot 6561)$

Этап 9.2

Перепишем это выражение.

$\log_{2} (1)$

Этап 10

Логарифм $1$ по основанию $2$ равен $0$ .

$0$