Основы мат. анализа Примеры

$\log (\sqrt{\frac{x^{2} + 7}{(x^{4} + 8) {(x^{2} - 16)}^{5}}})$

Этап 1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\log (\sqrt{\frac{x^{2} + 7}{(x^{4} + 8) {(x^{2} - 4^{2})}^{5}}})$

Этап 2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$\log (\sqrt{\frac{x^{2} + 7}{(x^{4} + 8) {((x + 4) (x - 4))}^{5}}})$

Этап 3

Применим правило умножения к $(x + 4) (x - 4)$ .

$\log (\sqrt{\frac{x^{2} + 7}{(x^{4} + 8) {(x + 4)}^{5} {(x - 4)}^{5}}})$

Этап 4

Перепишем $\frac{x^{2} + 7}{(x^{4} + 8) {(x + 4)}^{5} {(x - 4)}^{5}}$ в виде ${(\frac{1}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}})}^{2} \frac{x^{2} + 7}{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $x^{2} + 7$ .

$\log (\sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + 7)}{(x^{4} + 8) {(x + 4)}^{5} {(x - 4)}^{5}}})$

Этап 4.2

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} (x^{2} + 7)}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2} ((x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4))}$ .

$\log (\sqrt{{(\frac{1}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}})}^{2} \frac{x^{2} + 7}{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}})$

Этап 5

Вынесем члены из-под знака корня.

$\log (\frac{1}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}} \sqrt{\frac{x^{2} + 7}{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}})$

Этап 6

Перепишем $\sqrt{\frac{x^{2} + 7}{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}$ в виде $\frac{\sqrt{x^{2} + 7}}{\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}$ .

$\log (\frac{1}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 7}}{\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}})$

Этап 7

Объединим.

$\log (\frac{1 \sqrt{x^{2} + 7}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}})$

Этап 8

Умножим $\sqrt{x^{2} + 7}$ на $1$ .

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}})$

Этап 9

Умножим $\frac{\sqrt{x^{2} + 7}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}$ на $\frac{\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}$ .

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}} \cdot \frac{\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}})$

Этап 10

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $\frac{\sqrt{x^{2} + 7}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}$ на $\frac{\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}$ .

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}})$

Этап 10.2

Перенесем $\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}$ .

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)})})$

Этап 10.3

Возведем $\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}$ в степень $1$ .

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} ({\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}^{1} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)})})$

Этап 10.4

Возведем $\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}$ в степень $1$ .

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} ({\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}^{1} {\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}^{1})})$

Этап 10.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} {\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}^{1 + 1}})$

Этап 10.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} {\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}^{2}})$

Этап 10.7

Перепишем ${\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}^{2}$ в виде $(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}$ в виде ${((x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} {({((x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4))}^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Этап 10.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} {((x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Этап 10.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} {((x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4))}^{\frac{2}{2}}})$

Этап 10.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} {((x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4))}^{\frac{2}{2}}})$

Этап 10.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} {((x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4))}^{1}})$

Этап 10.7.5

Упростим.

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} ((x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4))})$

Этап 11

Умножим ${(x + 4)}^{2}$ на $x + 4$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Перенесем $x + 4$ .

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{(x + 4) {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} ((x^{4} + 8) (x - 4))})$

Этап 11.2

Умножим $x + 4$ на ${(x + 4)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Возведем $x + 4$ в степень $1$ .

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{1} {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} ((x^{4} + 8) (x - 4))})$

Этап 11.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{1 + 2} {(x - 4)}^{2} ((x^{4} + 8) (x - 4))})$

Этап 11.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{2} ((x^{4} + 8) (x - 4))})$

Этап 12

Умножим ${(x - 4)}^{2}$ на $x - 4$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перенесем $x - 4$ .

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{3} ((x - 4) {(x - 4)}^{2}) (x^{4} + 8)})$

Этап 12.2

Умножим $x - 4$ на ${(x - 4)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Возведем $x - 4$ в степень $1$ .

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{3} ({(x - 4)}^{1} {(x - 4)}^{2}) (x^{4} + 8)})$

Этап 12.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{1 + 2} (x^{4} + 8)})$

Этап 12.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3} (x^{4} + 8)})$

Этап 13

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\log (\frac{\sqrt{(x^{2} + 7) (x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3} (x^{4} + 8)})$