Основы мат. анализа Примеры

$\ln (x) - 4 (\ln (x + 2) + \ln (x - 2))$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x) - 4 \ln ((x + 2) (x - 2))$

Этап 1.2

Развернем $(x + 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (x) - 4 \ln (x (x - 2) + 2 (x - 2))$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (x) - 4 \ln (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2))$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (x) - 4 \ln (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2)$

Этап 1.3

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 2$ и $2 x$ .

$\ln (x) - 4 \ln (x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2)$

Этап 1.3.2

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$\ln (x) - 4 \ln (x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2)$

Этап 1.3.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$\ln (x) - 4 \ln (x \cdot x + 2 \cdot - 2)$

Этап 1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\ln (x) - 4 \ln (x^{2} + 2 \cdot - 2)$

Этап 1.4.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\ln (x) - 4 \ln (x^{2} - 4)$

Этап 1.5

Упростим $- 4 \ln (x^{2} - 4)$ путем переноса $4$ под логарифм.

$\ln (x) - \ln ({(x^{2} - 4)}^{4})$

Этап 2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{4}})$

Этап 3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\ln (\frac{x}{{(x^{2} - 2^{2})}^{4}})$

Этап 3.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\ln (\frac{x}{{((x + 2) (x - 2))}^{4}})$

Этап 3.3

Применим правило умножения к $(x + 2) (x - 2)$ .

$\ln (\frac{x}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}})$