Основы мат. анализа Примеры

$\log (x^{3} y^{2}) - 2 \log (x \sqrt[3]{y}) - \log (\frac{x}{y})$

Этап 1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x^{3} y^{2}}{\frac{x}{y}}) - 2 \log (x \sqrt[3]{y})$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\log (x^{3} y^{2} \frac{y}{x}) - 2 \log (x \sqrt[3]{y})$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} y^{2}$ .

$\log (x (x^{2} y^{2}) \frac{y}{x}) - 2 \log (x \sqrt[3]{y})$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель.

$\log (x (x^{2} y^{2}) \frac{y}{x}) - 2 \log (x \sqrt[3]{y})$

Этап 2.2.3

Перепишем это выражение.

$\log (x^{2} y^{2} y) - 2 \log (x \sqrt[3]{y})$

Этап 2.3

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\log (x^{2} (y^{1} y^{2})) - 2 \log (x \sqrt[3]{y})$

Этап 2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\log (x^{2} y^{1 + 2}) - 2 \log (x \sqrt[3]{y})$

Этап 2.5

Добавим $1$ и $2$ .

$\log (x^{2} y^{3}) - 2 \log (x \sqrt[3]{y})$

Этап 2.6

Упростим $- 2 \log (x \sqrt[3]{y})$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log (x^{2} y^{3}) - \log ({(x \sqrt[3]{y})}^{2})$

Этап 2.7

Применим правило умножения к $x \sqrt[3]{y}$ .

$\log (x^{2} y^{3}) - \log (x^{2} {\sqrt[3]{y}}^{2})$

Этап 2.8

Перепишем ${\sqrt[3]{y}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{y^{2}}$ .

$\log (x^{2} y^{3}) - \log (x^{2} \sqrt[3]{y^{2}})$

Этап 3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x^{2} y^{3}}{x^{2} \sqrt[3]{y^{2}}})$

Этап 4

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель.

$\log (\frac{x^{2} y^{3}}{x^{2} \sqrt[3]{y^{2}}})$

Этап 4.2

Перепишем это выражение.

$\log (\frac{y^{3}}{\sqrt[3]{y^{2}}})$

Этап 5

Умножим $\frac{y^{3}}{\sqrt[3]{y^{2}}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}$ .

$\log (\frac{y^{3}}{\sqrt[3]{y^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}})$

Этап 6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $\frac{y^{3}}{\sqrt[3]{y^{2}}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}$ .

$\log (\frac{y^{3} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{\sqrt[3]{y^{2}} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}})$

Этап 6.2

Возведем $\sqrt[3]{y^{2}}$ в степень $1$ .

$\log (\frac{y^{3} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{y^{2}}}^{1} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}})$

Этап 6.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\log (\frac{y^{3} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{y^{2}}}^{1 + 2}})$

Этап 6.4

Добавим $1$ и $2$ .

$\log (\frac{y^{3} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{y^{2}}}^{3}})$

Этап 6.5

Перепишем ${\sqrt[3]{y^{2}}}^{3}$ в виде $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{y^{2}}$ в виде $y^{\frac{2}{3}}$ .

$\log (\frac{y^{3} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{{(y^{\frac{2}{3}})}^{3}})$

Этап 6.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (\frac{y^{3} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y^{\frac{2}{3} \cdot 3}})$

Этап 6.5.3

Объединим $\frac{2}{3}$ и $3$ .

$\log (\frac{y^{3} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y^{\frac{2 \cdot 3}{3}}})$

Этап 6.5.4

Умножим $2$ на $3$ .

$\log (\frac{y^{3} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y^{\frac{6}{3}}})$

Этап 6.5.5

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.5.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\log (\frac{y^{3} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y^{\frac{3 \cdot 2}{3}}})$

Этап 6.5.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\log (\frac{y^{3} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}})$

Этап 6.5.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\log (\frac{y^{3} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}})$

Этап 6.5.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\log (\frac{y^{3} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y^{\frac{2}{1}}})$

Этап 6.5.5.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$\log (\frac{y^{3} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y^{2}})$

Этап 7

Сократим общий множитель $y^{3}$ и $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{3} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}$ .

$\log (\frac{y^{2} (y {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2})}{y^{2}})$

Этап 7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим на $1$ .

$\log (\frac{y^{2} (y {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2})}{y^{2} \cdot 1})$

Этап 7.2.2

Сократим общий множитель.

$\log (\frac{y^{2} (y {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2})}{y^{2} \cdot 1})$

Этап 7.2.3

Перепишем это выражение.

$\log (\frac{y {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{1})$

Этап 7.2.4

Разделим $y {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}$ на $1$ .

$\log (y {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2})$

Этап 8

Перепишем ${\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{{(y^{2})}^{2}}$ .

$\log (y \sqrt[3]{{(y^{2})}^{2}})$

Этап 9

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (y \sqrt[3]{y^{2 \cdot 2}})$

Этап 9.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\log (y \sqrt[3]{y^{4}})$

Этап 10

Вынесем $y^{3}$ за скобки.

$\log (y \sqrt[3]{y^{3} y})$

Этап 11

Вынесем члены из-под знака корня.

$\log (y (y \sqrt[3]{y}))$

Этап 12

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перенесем $y$ .

$\log (y \cdot y \sqrt[3]{y})$

Этап 12.2

Умножим $y$ на $y$ .

$\log (y^{2} \sqrt[3]{y})$