Основы мат. анализа Примеры

$\ln (\frac{x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x^{4} - x}}{e^{2 x}})$

Этап 1

Перепишем $\frac{x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x^{4} - x}}{e^{2 x}}$ в виде $x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x^{4} - x} {(e^{2 x})}^{- 1}$ .

$\ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x^{4} - x} {(e^{2 x})}^{- 1})$

Этап 2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x^{4} - x} e^{2 x \cdot - 1})$

Этап 3

Перепишем $\ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x^{4} - x} e^{2 x \cdot - 1})$ в виде $\ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x^{4} - x}) + \ln (e^{2 x \cdot - 1})$ .

$\ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x^{4} - x}) + \ln (e^{2 x \cdot - 1})$

Этап 4

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $2 x \cdot - 1$ из степени.

$\ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x^{4} - x}) + 2 x \cdot - 1 \ln (e)$

Этап 5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x^{4} - x}) - 2 x \ln (e)$

Этап 6

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x^{4} - x}) - 2 x \cdot 1$

Этап 7

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x^{4} - x}) - 2 x$

Этап 8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$\ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x \cdot x^{3} - x}) - 2 x$

Этап 8.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$\ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x \cdot x^{3} + x \cdot - 1}) - 2 x$

Этап 8.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{3} + x \cdot - 1$ .

$\ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x (x^{3} - 1)}) - 2 x$

Этап 8.2

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$\ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x (x^{3} - 1^{3})}) - 2 x$

Этап 8.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x ((x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}))}) - 2 x$

Этап 8.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Умножим $x$ на $1$ .

$\ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x ((x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}))}) - 2 x$

Этап 8.4.2

Единица в любой степени равна единице.

$\ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x ((x - 1) (x^{2} + x + 1))}) - 2 x$

$\ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x (x - 1) (x^{2} + x + 1)}) - 2 x$

Этап 9

Изменим порядок $\ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x (x - 1) (x^{2} + x + 1)})$ и $- 2 x$ .

$- 2 x + \ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x (x - 1) (x^{2} + x + 1)})$