Основы мат. анализа Примеры

$\ln (\cos^{2} (x)) + \ln (1 + \tan (x^{2}))$

Этап 1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (\cos^{2} (x) (1 + \tan (x^{2})))$

Этап 2

Выразим $\tan (x^{2})$ через синусы и косинусы.

$\ln (\cos^{2} (x) (1 + \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}))$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (\cos^{2} (x) \cdot 1 + \cos^{2} (x) \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})})$

Этап 3.2

Умножим $\cos^{2} (x)$ на $1$ .

$\ln (\cos^{2} (x) + \cos^{2} (x) \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})})$

Этап 3.3

Объединим $\cos^{2} (x)$ и $\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ .

$\ln (\cos^{2} (x) + \frac{\cos^{2} (x) \sin (x^{2})}{\cos (x^{2})})$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{2} (x)$ .

$\ln (\cos^{2} (x) + \frac{\cos (x) \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos (x^{2})})$

Этап 4.2

Разделим дроби.

$\ln (\cos^{2} (x) + \frac{\cos (x) \sin (x^{2})}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x^{2})})$

Этап 4.3

Перепишем $\frac{\cos (x)}{\cos (x^{2})}$ в виде произведения.

$\ln (\cos^{2} (x) + \frac{\cos (x) \sin (x^{2})}{1} (\cos (x) \frac{1}{\cos (x^{2})}))$

Этап 4.4

Запишем $\cos (x)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\ln (\cos^{2} (x) + \frac{\cos (x) \sin (x^{2})}{1} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x^{2})}))$

Этап 4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\ln (\cos^{2} (x) + \frac{\cos (x) \sin (x^{2})}{1} (\cos (x) \frac{1}{\cos (x^{2})}))$

Этап 4.5.2

Переведем $\frac{1}{\cos (x^{2})}$ в $\sec (x^{2})$ .

$\ln (\cos^{2} (x) + \frac{\cos (x) \sin (x^{2})}{1} (\cos (x) \sec (x^{2})))$

Этап 4.6

Разделим $\cos (x) \sin (x^{2})$ на $1$ .

$\ln (\cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x^{2}) (\cos (x) \sec (x^{2})))$

Этап 4.7

Умножим $\cos (x) \sin (x^{2}) (\cos (x) \sec (x^{2}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\ln (\cos^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) \sin (x^{2}) \sec (x^{2}))$

Этап 4.7.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\ln (\cos^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) \sin (x^{2}) \sec (x^{2}))$

Этап 4.7.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\ln (\cos^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} \sin (x^{2}) \sec (x^{2}))$

Этап 4.7.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\ln (\cos^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin (x^{2}) \sec (x^{2}))$