Основы мат. анализа Примеры

$\ln (\sqrt{x}) + \frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{y}{x}) + \frac{1}{2} \cdot \ln (x) + \ln (\frac{1}{y})$

Этап 1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (\sqrt{x} \frac{y}{x}) + \frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \frac{1}{2} \cdot \ln (x) + \ln (\frac{1}{y})$

Этап 2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \frac{1}{2} \cdot \ln (x) + \ln (\sqrt{x} \frac{y}{x} \frac{1}{y})$

Этап 3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $\frac{1}{2} \ln (x)$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \ln (\sqrt{x} \frac{y}{x} \frac{1}{y})$

Этап 3.2

Объединим $\sqrt{x}$ и $\frac{y}{x}$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \ln (\frac{\sqrt{x} y}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $y$ из $\sqrt{x} y$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \ln (\frac{y \sqrt{x}}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \ln (\frac{y \sqrt{x}}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Этап 3.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \ln (\frac{\sqrt{x}}{x})$

Этап 4

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (x^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{x}}{x})$

Этап 5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $x^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{x}}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Объединим $x^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{\sqrt{x}}{x}$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{x})$

Этап 5.1.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x})$

Этап 5.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{x})$

Этап 5.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x^{\frac{1 + 1}{2}}}{x})$

Этап 5.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x^{\frac{2}{2}}}{x})$

Этап 5.1.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x^{\frac{2}{2}}}{x})$

Этап 5.1.6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x^{1}}{x})$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $x^{1}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x \cdot 1}{x})$

Этап 5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x \cdot 1}{x^{1}})$

Этап 5.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x \cdot 1}{x \cdot 1})$

Этап 5.2.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x \cdot 1}{x \cdot 1})$

Этап 5.2.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{1}{1})$

Этап 5.2.2.5

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (1)$

Этап 5.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + 0$

Этап 6

Добавим $\frac{\ln (x)}{\ln (y)}$ и $0$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)}$