Основы мат. анализа Примеры

$\ln (\sqrt{x}) - \frac{1}{5} \cdot \ln (x) + \ln (\sqrt[4]{x})$

Этап 1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \ln (x) + \ln (\sqrt{x} \sqrt[4]{x})$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $- \frac{1}{5} \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Изменим порядок $\ln (x)$ и $\frac{1}{5}$ .

$- (\frac{1}{5} \ln (x)) + \ln (\sqrt{x} \sqrt[4]{x})$

Этап 2.1.2

Упростим $\frac{1}{5} \ln (x)$ путем переноса $\frac{1}{5}$ под логарифм.

$- \ln (x^{\frac{1}{5}}) + \ln (\sqrt{x} \sqrt[4]{x})$

Этап 2.2

Умножим $\sqrt{x} \sqrt[4]{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем это выражение, используя наименьший общий индекс $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \ln (x^{\frac{1}{5}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}} \sqrt[4]{x})$

Этап 2.2.1.2

Перепишем $x^{\frac{1}{2}}$ в виде $x^{\frac{2}{4}}$ .

$- \ln (x^{\frac{1}{5}}) + \ln (x^{\frac{2}{4}} \sqrt[4]{x})$

Этап 2.2.1.3

Перепишем $x^{\frac{2}{4}}$ в виде $\sqrt[4]{x^{2}}$ .

$- \ln (x^{\frac{1}{5}}) + \ln (\sqrt[4]{x^{2}} \sqrt[4]{x})$

Этап 2.2.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$- \ln (x^{\frac{1}{5}}) + \ln (\sqrt[4]{x^{2} x})$

Этап 2.2.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \ln (x^{\frac{1}{5}}) + \ln (\sqrt[4]{x^{2} x^{1}})$

Этап 2.2.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \ln (x^{\frac{1}{5}}) + \ln (\sqrt[4]{x^{2 + 1}})$

Этап 2.2.3.2

Добавим $2$ и $1$ .

$- \ln (x^{\frac{1}{5}}) + \ln (\sqrt[4]{x^{3}})$