Основы мат. анализа Примеры

$\ln (3 + x) + \ln (2 x - 1) - 2 \ln (x)$

Этап 1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((3 + x) (2 x - 1)) - 2 \ln (x)$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Развернем $(3 + x) (2 x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (3 (2 x - 1) + x (2 x - 1)) - 2 \ln (x)$

Этап 2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (3 (2 x) + 3 \cdot - 1 + x (2 x - 1)) - 2 \ln (x)$

Этап 2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (3 (2 x) + 3 \cdot - 1 + x (2 x) + x \cdot - 1) - 2 \ln (x)$

Этап 2.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим $2$ на $3$ .

$\ln (6 x + 3 \cdot - 1 + x (2 x) + x \cdot - 1) - 2 \ln (x)$

Этап 2.2.1.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\ln (6 x - 3 + x (2 x) + x \cdot - 1) - 2 \ln (x)$

Этап 2.2.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\ln (6 x - 3 + 2 x \cdot x + x \cdot - 1) - 2 \ln (x)$

Этап 2.2.1.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.4.1

Перенесем $x$ .

$\ln (6 x - 3 + 2 (x \cdot x) + x \cdot - 1) - 2 \ln (x)$

Этап 2.2.1.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\ln (6 x - 3 + 2 x^{2} + x \cdot - 1) - 2 \ln (x)$

Этап 2.2.1.5

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\ln (6 x - 3 + 2 x^{2} - 1 \cdot x) - 2 \ln (x)$

Этап 2.2.1.6

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\ln (6 x - 3 + 2 x^{2} - x) - 2 \ln (x)$

Этап 2.2.2

Вычтем $x$ из $6 x$ .

$\ln (5 x - 3 + 2 x^{2}) - 2 \ln (x)$

Этап 2.3

Упростим $- 2 \ln (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln (5 x - 3 + 2 x^{2}) - \ln (x^{2})$

Этап 3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{5 x - 3 + 2 x^{2}}{x^{2}})$

Этап 4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок членов.

$\ln (\frac{2 x^{2} + 5 x - 3}{x^{2}})$

Этап 4.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ , а сумма — $b = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$\ln (\frac{2 x^{2} + 5 (x) - 3}{x^{2}})$

Этап 4.2.2

Запишем $5$ как $- 1$ плюс $6$

$\ln (\frac{2 x^{2} + (- 1 + 6) x - 3}{x^{2}})$

Этап 4.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (\frac{2 x^{2} - 1 x + 6 x - 3}{x^{2}})$

Этап 4.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\ln (\frac{(2 x^{2} - 1 x) + 6 x - 3}{x^{2}})$

Этап 4.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\ln (\frac{x (2 x - 1) + 3 (2 x - 1)}{x^{2}})$

Этап 4.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 1$ .

$\ln (\frac{(2 x - 1) (x + 3)}{x^{2}})$