Основы мат. анализа Примеры

$\ln (2) - \ln (y) + \frac{1}{2} \cdot \ln (x + y) - \frac{1}{3} \cdot \ln (27)$

Этап 1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{2}{y}) + \frac{1}{2} \cdot \ln (x + y) - \frac{1}{3} \cdot \ln (27)$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\frac{1}{2} \ln (x + y)$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$\ln (\frac{2}{y}) + \ln ({(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{3} \cdot \ln (27)$

Этап 2.2

Умножим $- \frac{1}{3} \ln (27)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Изменим порядок $\ln (27)$ и $\frac{1}{3}$ .

$\ln (\frac{2}{y}) + \ln ({(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - (\frac{1}{3} \ln (27))$

Этап 2.2.2

Упростим $\frac{1}{3} \ln (27)$ путем переноса $\frac{1}{3}$ под логарифм.

$\ln (\frac{2}{y}) + \ln ({(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - \ln (27^{\frac{1}{3}})$

Этап 2.3

Перепишем $27$ в виде $3^{3}$ .

$\ln (\frac{2}{y}) + \ln ({(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - \ln ({(3^{3})}^{\frac{1}{3}})$

Этап 2.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{2}{y}) + \ln ({(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - \ln (3^{3 (\frac{1}{3})})$

Этап 2.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Сократим общий множитель.

$\ln (\frac{2}{y}) + \ln ({(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - \ln (3^{3 (\frac{1}{3})})$

Этап 2.5.2

Перепишем это выражение.

$\ln (\frac{2}{y}) + \ln ({(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - \ln (3^{1})$

Этап 2.6

Найдем экспоненту.

$\ln (\frac{2}{y}) + \ln ({(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - \ln (3)$

Этап 3

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (\frac{2}{y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - \ln (3)$

Этап 4

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{2}{y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{3})$

Этап 5

Объединим $\frac{2}{y}$ и ${(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y}}{3})$

Этап 6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\ln (\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y} \cdot \frac{1}{3})$

Этап 7

Объединим.

$\ln (\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{y \cdot 3})$

Этап 8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\ln (\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y \cdot 3})$

Этап 8.2

Перенесем $3$ влево от $y$ .

$\ln (\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{3 y})$