Основы мат. анализа Примеры

$\ln (\frac{x}{x - 1}) - \ln (x^{2} - 1)$

Этап 1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{x}{x - 1}}{x^{2} - 1})$

Этап 2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\ln (\frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{x^{2} - 1})$

Этап 3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\ln (\frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{x^{2} - 1^{2}})$

Этап 3.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\ln (\frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{(x + 1) (x - 1)})$

Этап 4

Умножим $\frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{x}{x - 1}$ на $\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\ln (\frac{x}{(x - 1) ((x + 1) (x - 1))})$

Этап 4.2

Возведем $x - 1$ в степень $1$ .

$\ln (\frac{x}{{(x - 1)}^{1} (x - 1) (x + 1)})$

Этап 4.3

Возведем $x - 1$ в степень $1$ .

$\ln (\frac{x}{{(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1} (x + 1)})$

Этап 4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\ln (\frac{x}{{(x - 1)}^{1 + 1} (x + 1)})$

Этап 4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\ln (\frac{x}{{(x - 1)}^{2} (x + 1)})$