Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1}{1 + \log_{c} (a b)} + \frac{1}{1 + \log_{a} (b c)} + \frac{1}{1 + \log_{b} (c a)}$

Этап 1

Чтобы записать $\frac{1}{1 + \log_{c} (a b)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 + \log_{a} (b c)}{1 + \log_{a} (b c)}$ .

$\frac{1}{1 + \log_{c} (a b)} \cdot \frac{1 + \log_{a} (b c)}{1 + \log_{a} (b c)} + \frac{1}{1 + \log_{a} (b c)} + \frac{1}{1 + \log_{b} (c a)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{1}{1 + \log_{a} (b c)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 + \log_{c} (a b)}{1 + \log_{c} (a b)}$ .

$\frac{1}{1 + \log_{c} (a b)} \cdot \frac{1 + \log_{a} (b c)}{1 + \log_{a} (b c)} + \frac{1}{1 + \log_{a} (b c)} \cdot \frac{1 + \log_{c} (a b)}{1 + \log_{c} (a b)} + \frac{1}{1 + \log_{b} (c a)}$

Этап 3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(1 + \log_{c} (a b)) (1 + \log_{a} (b c))$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{1}{1 + \log_{c} (a b)}$ на $\frac{1 + \log_{a} (b c)}{1 + \log_{a} (b c)}$ .

$\frac{1 + \log_{a} (b c)}{(1 + \log_{c} (a b)) (1 + \log_{a} (b c))} + \frac{1}{1 + \log_{a} (b c)} \cdot \frac{1 + \log_{c} (a b)}{1 + \log_{c} (a b)} + \frac{1}{1 + \log_{b} (c a)}$

Этап 3.2

Умножим $\frac{1}{1 + \log_{a} (b c)}$ на $\frac{1 + \log_{c} (a b)}{1 + \log_{c} (a b)}$ .

$\frac{1 + \log_{a} (b c)}{(1 + \log_{c} (a b)) (1 + \log_{a} (b c))} + \frac{1 + \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))} + \frac{1}{1 + \log_{b} (c a)}$

Этап 3.3

Изменим порядок множителей в $(1 + \log_{c} (a b)) (1 + \log_{a} (b c))$ .

$\frac{1 + \log_{a} (b c)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))} + \frac{1 + \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))} + \frac{1}{1 + \log_{b} (c a)}$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + \log_{a} (b c) + 1 + \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))} + \frac{1}{1 + \log_{b} (c a)}$

Этап 5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 + \log_{a} (b c) + \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))} + \frac{1}{1 + \log_{b} (c a)}$

Этап 6

Чтобы записать $\frac{2 + \log_{a} (b c) + \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 + \log_{b} (c a)}{1 + \log_{b} (c a)}$ .

$\frac{2 + \log_{a} (b c) + \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))} \cdot \frac{1 + \log_{b} (c a)}{1 + \log_{b} (c a)} + \frac{1}{1 + \log_{b} (c a)}$

Этап 7

Чтобы записать $\frac{1}{1 + \log_{b} (c a)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}$ .

$\frac{2 + \log_{a} (b c) + \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))} \cdot \frac{1 + \log_{b} (c a)}{1 + \log_{b} (c a)} + \frac{1}{1 + \log_{b} (c a)} \cdot \frac{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}$

Этап 8

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b)) (1 + \log_{b} (c a))$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $\frac{2 + \log_{a} (b c) + \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}$ на $\frac{1 + \log_{b} (c a)}{1 + \log_{b} (c a)}$ .

$\frac{(2 + \log_{a} (b c) + \log_{c} (a b)) (1 + \log_{b} (c a))}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b)) (1 + \log_{b} (c a))} + \frac{1}{1 + \log_{b} (c a)} \cdot \frac{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}$

Этап 8.2

Умножим $\frac{1}{1 + \log_{b} (c a)}$ на $\frac{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}$ .

$\frac{(2 + \log_{a} (b c) + \log_{c} (a b)) (1 + \log_{b} (c a))}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b)) (1 + \log_{b} (c a))} + \frac{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}{(1 + \log_{b} (c a)) ((1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b)))}$

Этап 8.3

Изменим порядок множителей в $(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b)) (1 + \log_{b} (c a))$ .

$\frac{(2 + \log_{a} (b c) + \log_{c} (a b)) (1 + \log_{b} (c a))}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))} + \frac{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}{(1 + \log_{b} (c a)) ((1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b)))}$

Этап 8.4

Изменим порядок множителей в $(1 + \log_{b} (c a)) ((1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b)))$ .

$\frac{(2 + \log_{a} (b c) + \log_{c} (a b)) (1 + \log_{b} (c a))}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))} + \frac{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

Этап 9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(2 + \log_{a} (b c) + \log_{c} (a b)) (1 + \log_{b} (c a)) + (1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

Этап 10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Развернем $(2 + \log_{a} (b c) + \log_{c} (a b)) (1 + \log_{b} (c a))$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \log_{b} (c a) + \log_{a} (b c) \cdot 1 + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) \cdot 1 + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + (1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

Этап 10.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2 + 2 \log_{b} (c a) + \log_{a} (b c) \cdot 1 + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) \cdot 1 + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + (1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

Этап 10.2.2

Упростим $2 \log_{b} (c a)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{2 + \log_{b} ({(c a)}^{2}) + \log_{a} (b c) \cdot 1 + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) \cdot 1 + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + (1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

Этап 10.2.3

Применим правило умножения к $c a$ .

$\frac{2 + \log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) \cdot 1 + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) \cdot 1 + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + (1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

Этап 10.2.4

Умножим $\log_{a} (b c)$ на $1$ .

$\frac{2 + \log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) \cdot 1 + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + (1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

Этап 10.2.5

Умножим $\log_{c} (a b)$ на $1$ .

$\frac{2 + \log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + (1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

Этап 10.3

Развернем $(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{c} (a b))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 + \log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + 1 (1 + \log_{c} (a b)) + \log_{a} (b c) (1 + \log_{c} (a b))}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

Этап 10.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 + \log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + 1 \cdot 1 + 1 \log_{c} (a b) + \log_{a} (b c) (1 + \log_{c} (a b))}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

Этап 10.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 + \log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + 1 \cdot 1 + 1 \log_{c} (a b) + \log_{a} (b c) \cdot 1 + \log_{a} (b c) \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

Этап 10.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{2 + \log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + 1 + 1 \log_{c} (a b) + \log_{a} (b c) \cdot 1 + \log_{a} (b c) \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

Этап 10.4.2

Умножим $\log_{c} (a b)$ на $1$ .

$\frac{2 + \log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + 1 + \log_{c} (a b) + \log_{a} (b c) \cdot 1 + \log_{a} (b c) \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

Этап 10.4.3

Умножим $\log_{a} (b c)$ на $1$ .

$\frac{2 + \log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + 1 + \log_{c} (a b) + \log_{a} (b c) + \log_{a} (b c) \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

Этап 10.5

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{\log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + 3 + \log_{c} (a b) + \log_{a} (b c) + \log_{a} (b c) \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

Этап 10.6

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + 3 + \log_{c} (a b) + \log_{a} (b c (b c)) + \log_{a} (b c) \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

Этап 10.7

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + 3 + \log_{c} (a b (a b)) + \log_{a} (b c (b c)) + \log_{a} (b c) \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

Этап 10.8

Перепишем $\log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + 3 + \log_{c} (a b (a b)) + \log_{a} (b c (b c)) + \log_{a} (b c) \log_{c} (a b)$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.8.1

Умножим $a$ на $a$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.8.1.1

Перенесем $a$ .

$\frac{\log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + 3 + \log_{c} (a \cdot a b \cdot b) + \log_{a} (b c (b c)) + \log_{a} (b c) \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

Этап 10.8.1.2

Умножим $a$ на $a$ .

$\frac{\log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + 3 + \log_{c} (a^{2} b \cdot b) + \log_{a} (b c (b c)) + \log_{a} (b c) \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

Этап 10.8.2

Умножим $b$ на $b$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.8.2.1

Перенесем $b$ .

$\frac{\log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + 3 + \log_{c} (a^{2} (b \cdot b)) + \log_{a} (b c (b c)) + \log_{a} (b c) \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

Этап 10.8.2.2

Умножим $b$ на $b$ .

$\frac{\log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + 3 + \log_{c} (a^{2} b^{2}) + \log_{a} (b c (b c)) + \log_{a} (b c) \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

Этап 10.8.3

Умножим $b$ на $b$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.8.3.1

Перенесем $b$ .

$\frac{\log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + 3 + \log_{c} (a^{2} b^{2}) + \log_{a} (b \cdot b c \cdot c) + \log_{a} (b c) \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

Этап 10.8.3.2

Умножим $b$ на $b$ .

$\frac{\log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + 3 + \log_{c} (a^{2} b^{2}) + \log_{a} (b^{2} c \cdot c) + \log_{a} (b c) \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

Этап 10.8.4

Умножим $c$ на $c$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.8.4.1

Перенесем $c$ .

$\frac{\log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + 3 + \log_{c} (a^{2} b^{2}) + \log_{a} (b^{2} (c \cdot c)) + \log_{a} (b c) \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$

Этап 10.8.4.2

Умножим $c$ на $c$ .

$\frac{\log_{b} (c^{2} a^{2}) + \log_{a} (b c) \log_{b} (c a) + \log_{c} (a b) \log_{b} (c a) + 3 + \log_{c} (a^{2} b^{2}) + \log_{a} (b^{2} c^{2}) + \log_{a} (b c) \log_{c} (a b)}{(1 + \log_{a} (b c)) (1 + \log_{b} (c a)) (1 + \log_{c} (a b))}$