Основы мат. анализа Примеры

$\frac{\ln (30) - \ln (3)}{\ln (100 - \ln (1))} + \ln (9) - \frac{1}{2} \cdot \ln (10) \cdot \log (9)$

Этап 1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{30}{3})}{\ln (100 - \ln (1))} + \ln (9) - \frac{1}{2} \cdot \ln (10) \cdot \log (9)$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сократим общий множитель $30$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $3$ из $30$ .

$\frac{\ln (\frac{3 \cdot 10}{3})}{\ln (100 - \ln (1))} + \ln (9) - \frac{1}{2} \cdot \ln (10) \cdot \log (9)$

Этап 2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{\ln (\frac{3 \cdot 10}{3 (1)})}{\ln (100 - \ln (1))} + \ln (9) - \frac{1}{2} \cdot \ln (10) \cdot \log (9)$

Этап 2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (\frac{3 \cdot 10}{3 \cdot 1})}{\ln (100 - \ln (1))} + \ln (9) - \frac{1}{2} \cdot \ln (10) \cdot \log (9)$

Этап 2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln (\frac{10}{1})}{\ln (100 - \ln (1))} + \ln (9) - \frac{1}{2} \cdot \ln (10) \cdot \log (9)$

Этап 2.1.2.4

Разделим $10$ на $1$ .

$\frac{\ln (10)}{\ln (100 - \ln (1))} + \ln (9) - \frac{1}{2} \cdot \ln (10) \cdot \log (9)$

Этап 2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{\ln (10)}{\ln (100 - 0)} + \ln (9) - \frac{1}{2} \cdot \ln (10) \cdot \log (9)$

Этап 2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{\ln (10)}{\ln (100 + 0)} + \ln (9) - \frac{1}{2} \cdot \ln (10) \cdot \log (9)$

Этап 2.2.2

Добавим $100$ и $0$ .

$\frac{\ln (10)}{\ln (100)} + \ln (9) - \frac{1}{2} \cdot \ln (10) \cdot \log (9)$

Этап 2.3

Умножим $- \frac{1}{2} \ln (10)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Изменим порядок $\ln (10)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (10)}{\ln (100)} + \ln (9) - (\frac{1}{2} \ln (10)) \cdot \log (9)$

Этап 2.3.2

Упростим $\frac{1}{2} \ln (10)$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$\frac{\ln (10)}{\ln (100)} + \ln (9) - \ln (10^{\frac{1}{2}}) \cdot \log (9)$

$\frac{\ln (10)}{\ln (100)} + \ln (9) - \ln (10^{\frac{1}{2}}) \log (9)$

Этап 3

Чтобы записать $\ln (9)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\ln (100)}{\ln (100)}$ .

$\frac{\ln (10)}{\ln (100)} + \frac{\ln (9) \ln (100)}{\ln (100)} - \ln (10^{\frac{1}{2}}) \log (9)$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\ln (10) + \ln (9) \ln (100)}{\ln (100)} - \ln (10^{\frac{1}{2}}) \log (9)$

Этап 5

Чтобы записать $- \ln (10^{\frac{1}{2}}) \log (9)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\ln (100)}{\ln (100)}$ .

$\frac{\ln (10) + \ln (9) \ln (100)}{\ln (100)} - \ln (10^{\frac{1}{2}}) \log (9) \cdot \frac{\ln (100)}{\ln (100)}$

Этап 6

Объединим $- \ln (10^{\frac{1}{2}}) \log (9)$ и $\frac{\ln (100)}{\ln (100)}$ .

$\frac{\ln (10) + \ln (9) \ln (100)}{\ln (100)} + \frac{- \ln (10^{\frac{1}{2}}) \log (9) \ln (100)}{\ln (100)}$

Этап 7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\ln (10) + \ln (9) \ln (100) - \ln (10^{\frac{1}{2}}) \log (9) \ln (100)}{\ln (100)}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\ln (10) + \ln (9) \ln (100) - \ln (10^{\frac{1}{2}}) \log (9) \ln (100)}{\ln (100)}$

Десятичная форма:

$1.59861228 \dots$