Основы мат. анализа Примеры

$4 \log_{3} (x) + 2 \log_{3} (4 x) - \log_{3} (\sqrt{x})$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $4 \log_{3} (x)$ путем переноса $4$ под логарифм.

$\log_{3} (x^{4}) + 2 \log_{3} (4 x) - \log_{3} (\sqrt{x})$

Этап 1.2

Упростим $2 \log_{3} (4 x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log_{3} (x^{4}) + \log_{3} ({(4 x)}^{2}) - \log_{3} (\sqrt{x})$

Этап 1.3

Применим правило умножения к $4 x$ .

$\log_{3} (x^{4}) + \log_{3} (4^{2} x^{2}) - \log_{3} (\sqrt{x})$

Этап 1.4

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\log_{3} (x^{4}) + \log_{3} (16 x^{2}) - \log_{3} (\sqrt{x})$

Этап 2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} (x^{4} (16 x^{2})) - \log_{3} (\sqrt{x})$

Этап 3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{x^{4} (16 x^{2})}{\sqrt{x}})$

Этап 4

Умножим $x^{4}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\log_{3} (\frac{x^{2} x^{4} \cdot 16}{\sqrt{x}})$

Этап 4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\log_{3} (\frac{x^{2 + 4} \cdot 16}{\sqrt{x}})$

Этап 4.3

Добавим $2$ и $4$ .

$\log_{3} (\frac{x^{6} \cdot 16}{\sqrt{x}})$

Этап 5

Перенесем $16$ влево от $x^{6}$ .

$\log_{3} (\frac{16 \cdot x^{6}}{\sqrt{x}})$

Этап 6

Умножим $\frac{16 \cdot x^{6}}{\sqrt{x}}$ на $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\log_{3} (\frac{16 \cdot x^{6}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}})$

Этап 7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $\frac{16 \cdot x^{6}}{\sqrt{x}}$ на $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\log_{3} (\frac{16 \cdot x^{6} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}})$

Этап 7.2

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$\log_{3} (\frac{16 \cdot x^{6} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}})$

Этап 7.3

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$\log_{3} (\frac{16 \cdot x^{6} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}})$

Этап 7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\log_{3} (\frac{16 \cdot x^{6} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}})$

Этап 7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\log_{3} (\frac{16 \cdot x^{6} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}})$

Этап 7.6

Перепишем ${\sqrt{x}}^{2}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{3} (\frac{16 \cdot x^{6} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Этап 7.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{3} (\frac{16 \cdot x^{6} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Этап 7.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\log_{3} (\frac{16 \cdot x^{6} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})$

Этап 7.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\log_{3} (\frac{16 \cdot x^{6} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})$

Этап 7.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\log_{3} (\frac{16 \cdot x^{6} \sqrt{x}}{x^{1}})$

Этап 7.6.5

Упростим.

$\log_{3} (\frac{16 \cdot x^{6} \sqrt{x}}{x})$

Этап 8

Сократим общий множитель $x^{6}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $x$ из $16 \cdot x^{6} \sqrt{x}$ .

$\log_{3} (\frac{x (16 \cdot x^{5} \sqrt{x})}{x})$

Этап 8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\log_{3} (\frac{x (16 \cdot x^{5} \sqrt{x})}{x^{1}})$

Этап 8.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\log_{3} (\frac{x (16 \cdot x^{5} \sqrt{x})}{x \cdot 1})$

Этап 8.2.3

Сократим общий множитель.

$\log_{3} (\frac{x (16 \cdot x^{5} \sqrt{x})}{x \cdot 1})$

Этап 8.2.4

Перепишем это выражение.

$\log_{3} (\frac{16 \cdot x^{5} \sqrt{x}}{1})$

Этап 8.2.5

Разделим $16 \cdot x^{5} \sqrt{x}$ на $1$ .

$\log_{3} (16 \cdot x^{5} \sqrt{x})$

$\log_{3} (16 x^{5} \sqrt{x})$