Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1}{3} \cdot (\ln (x - 2) + 2 \ln (x + 2) - \ln (x + 2) - 5 \ln (x - 1))$

Этап 1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{3} \cdot (2 \ln (x + 2) + \ln (\frac{x - 2}{x + 2}) - 5 \ln (x - 1))$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $2 \ln (x + 2)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{1}{3} \cdot (\ln ({(x + 2)}^{2}) + \ln (\frac{x - 2}{x + 2}) - 5 \ln (x - 1))$

Этап 2.2

Упростим $- 5 \ln (x - 1)$ путем переноса $5$ под логарифм.

$\frac{1}{3} \cdot (\ln ({(x + 2)}^{2}) + \ln (\frac{x - 2}{x + 2}) - \ln ({(x - 1)}^{5}))$

Этап 3

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{1}{3} \cdot (\ln ({(x + 2)}^{2} \frac{x - 2}{x + 2}) - \ln ({(x - 1)}^{5}))$

Этап 4

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{{(x + 2)}^{2} \frac{x - 2}{x + 2}}{{(x - 1)}^{5}})$

Этап 5

Объединим ${(x + 2)}^{2}$ и $\frac{x - 2}{x + 2}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{\frac{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x + 2}}{{(x - 1)}^{5}})$

Этап 6

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим выражение $\frac{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x + 2}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $x + 2$ из ${(x + 2)}^{2} (x - 2)$ .

$\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{\frac{(x + 2) ((x + 2) (x - 2))}{x + 2}}{{(x - 1)}^{5}})$

Этап 6.1.2

Умножим на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{\frac{(x + 2) ((x + 2) (x - 2))}{(x + 2) \cdot 1}}{{(x - 1)}^{5}})$

Этап 6.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{\frac{(x + 2) ((x + 2) (x - 2))}{(x + 2) \cdot 1}}{{(x - 1)}^{5}})$

Этап 6.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{\frac{(x + 2) (x - 2)}{1}}{{(x - 1)}^{5}})$

Этап 6.2

Разделим $(x + 2) (x - 2)$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{5}})$

Этап 7

Упростим $\frac{1}{3} \ln (\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{5}})$ путем переноса $\frac{1}{3}$ под логарифм.

$\ln ({(\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{5}})}^{\frac{1}{3}})$

Этап 8

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим правило умножения к $\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{5}}$ .

$\ln (\frac{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{3}}}{{({(x - 1)}^{5})}^{\frac{1}{3}}})$

Этап 8.2

Применим правило умножения к $(x + 2) (x - 2)$ .

$\ln (\frac{{(x + 2)}^{\frac{1}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{({(x - 1)}^{5})}^{\frac{1}{3}}})$

Этап 9

Перемножим экспоненты в ${({(x - 1)}^{5})}^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{{(x + 2)}^{\frac{1}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{5 (\frac{1}{3})}})$

Этап 9.2

Объединим $5$ и $\frac{1}{3}$ .

$\ln (\frac{{(x + 2)}^{\frac{1}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{5}{3}}})$