Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1}{3} \cdot \log ({(x + 2)}^{3}) + \frac{1}{2} \cdot (\log (x^{4}) - \log ({(x^{2 - 2 x - 8})}^{2}))$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $\frac{1}{3} \log ({(x + 2)}^{3})$ путем переноса $\frac{1}{3}$ под логарифм.

$\log ({({(x + 2)}^{3})}^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{2} \cdot (\log (x^{4}) - \log ({(x^{2 - 2 x - 8})}^{2}))$

Этап 1.2

Перемножим экспоненты в ${({(x + 2)}^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log ({(x + 2)}^{3 (\frac{1}{3})}) + \frac{1}{2} \cdot (\log (x^{4}) - \log ({(x^{2 - 2 x - 8})}^{2}))$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\log ({(x + 2)}^{3 (\frac{1}{3})}) + \frac{1}{2} \cdot (\log (x^{4}) - \log ({(x^{2 - 2 x - 8})}^{2}))$

Этап 1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\log ({(x + 2)}^{1}) + \frac{1}{2} \cdot (\log (x^{4}) - \log ({(x^{2 - 2 x - 8})}^{2}))$

Этап 1.3

Упростим.

$\log (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot (\log (x^{4}) - \log ({(x^{2 - 2 x - 8})}^{2}))$

Этап 1.4

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x^{4}}{{(x^{2 - 2 x - 8})}^{2}})$

Этап 1.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Вычтем $8$ из $2$ .

$\log (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x^{4}}{{(x^{- 2 x - 6})}^{2}})$

Этап 1.5.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{- 2 x - 6})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x^{4}}{x^{(- 2 x - 6) \cdot 2}})$

Этап 1.5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x^{4}}{x^{- 2 x \cdot 2 - 6 \cdot 2}})$

Этап 1.5.2.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\log (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x^{4}}{x^{- 4 x - 6 \cdot 2}})$

Этап 1.5.2.4

Умножим $- 6$ на $2$ .

$\log (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x^{4}}{x^{- 4 x - 12}})$

Этап 1.6

Сократим общий множитель $x^{4}$ и $x^{- 4 x - 12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Вынесем множитель $x^{- 4 x - 12}$ из $x^{4}$ .

$\log (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x^{- 4 x - 12} x^{4 - (- 4 x - 12)}}{x^{- 4 x - 12}})$

Этап 1.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Умножим на $1$ .

$\log (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x^{- 4 x - 12} x^{4 - (- 4 x - 12)}}{x^{- 4 x - 12} \cdot 1})$

Этап 1.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\log (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x^{- 4 x - 12} x^{4 - (- 4 x - 12)}}{x^{- 4 x - 12} \cdot 1})$

Этап 1.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\log (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x^{4 - (- 4 x - 12)}}{1})$

Этап 1.6.2.4

Разделим $x^{4 - (- 4 x - 12)}$ на $1$ .

$\log (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot \log (x^{4 - (- 4 x - 12)})$

Этап 1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot \log (x^{4 - (- 4 x) - - 12})$

Этап 1.7.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$\log (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot \log (x^{4 + 4 x - - 12})$

Этап 1.7.3

Умножим $- 1$ на $- 12$ .

$\log (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot \log (x^{4 + 4 x + 12})$

Этап 1.8

Добавим $4$ и $12$ .

$\log (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot \log (x^{4 x + 16})$

Этап 1.9

Упростим $\frac{1}{2} \log (x^{4 x + 16})$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$\log (x + 2) + \log ({(x^{4 x + 16})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.10

Перемножим экспоненты в ${(x^{4 x + 16})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (x + 2) + \log (x^{(4 x + 16) \frac{1}{2}})$

Этап 1.10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (x + 2) + \log (x^{4 x \frac{1}{2} + 16 (\frac{1}{2})})$

Этап 1.10.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x$ .

$\log (x + 2) + \log (x^{2 (2 x) \frac{1}{2} + 16 (\frac{1}{2})})$

Этап 1.10.3.2

Сократим общий множитель.

$\log (x + 2) + \log (x^{2 (2 x) \frac{1}{2} + 16 (\frac{1}{2})})$

Этап 1.10.3.3

Перепишем это выражение.

$\log (x + 2) + \log (x^{2 x + 16 (\frac{1}{2})})$

Этап 1.10.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.4.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$\log (x + 2) + \log (x^{2 x + 2 (8) \frac{1}{2}})$

Этап 1.10.4.2

Сократим общий множитель.

$\log (x + 2) + \log (x^{2 x + 2 \cdot 8 \frac{1}{2}})$

Этап 1.10.4.3

Перепишем это выражение.

$\log (x + 2) + \log (x^{2 x + 8})$

Этап 2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x + 2) x^{2 x + 8})$

Этап 3

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (x \cdot x^{2 x + 8} + 2 x^{2 x + 8})$

Этап 4

Умножим $x$ на $x^{2 x + 8}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $x$ на $x^{2 x + 8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\log (x^{1} x^{2 x + 8} + 2 x^{2 x + 8})$

Этап 4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\log (x^{1 + 2 x + 8} + 2 x^{2 x + 8})$

Этап 4.2

Добавим $1$ и $8$ .

$\log (x^{2 x + 9} + 2 x^{2 x + 8})$