Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1}{4} \cdot (2 \ln (x + 1) + 3 \ln (x - 1) - \ln (6))$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $2 \ln (x + 1)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{1}{4} \cdot (\ln ({(x + 1)}^{2}) + 3 \ln (x - 1) - \ln (6))$

Этап 1.2

Упростим $3 \ln (x - 1)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\frac{1}{4} \cdot (\ln ({(x + 1)}^{2}) + \ln ({(x - 1)}^{3}) - \ln (6))$

Этап 2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{1}{4} \cdot (\ln ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{3}) - \ln (6))$

Этап 3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{4} \cdot \ln (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{3}}{6})$

Этап 4

Упростим $\frac{1}{4} \ln (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{3}}{6})$ путем переноса $\frac{1}{4}$ под логарифм.

$\ln ({(\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{3}}{6})}^{\frac{1}{4}})$

Этап 5

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим правило умножения к $\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{3}}{6}$ .

$\ln (\frac{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{3})}^{\frac{1}{4}}}{6^{\frac{1}{4}}})$

Этап 5.2

Применим правило умножения к ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{3}$ .

$\ln (\frac{{({(x + 1)}^{2})}^{\frac{1}{4}} {({(x - 1)}^{3})}^{\frac{1}{4}}}{6^{\frac{1}{4}}})$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 1)}^{2})}^{\frac{1}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{{(x + 1)}^{2 (\frac{1}{4})} {({(x - 1)}^{3})}^{\frac{1}{4}}}{6^{\frac{1}{4}}})$

Этап 6.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\ln (\frac{{(x + 1)}^{2 \frac{1}{2 (2)}} {({(x - 1)}^{3})}^{\frac{1}{4}}}{6^{\frac{1}{4}}})$

Этап 6.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (\frac{{(x + 1)}^{2 \frac{1}{2 \cdot 2}} {({(x - 1)}^{3})}^{\frac{1}{4}}}{6^{\frac{1}{4}}})$

Этап 6.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {({(x - 1)}^{3})}^{\frac{1}{4}}}{6^{\frac{1}{4}}})$

Этап 6.2

Перемножим экспоненты в ${({(x - 1)}^{3})}^{\frac{1}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x - 1)}^{3 (\frac{1}{4})}}{6^{\frac{1}{4}}})$

Этап 6.2.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{4}$ .

$\ln (\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x - 1)}^{\frac{3}{4}}}{6^{\frac{1}{4}}})$