Основы мат. анализа Примеры

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (\sqrt{108}) - 1 \log_{6} (\frac{2}{\sqrt{3}}) + 3 \log_{6} (9) + \log_{6} (256))$

Этап 1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (\sqrt{108} \cdot 256) - 1 \log_{6} (\frac{2}{\sqrt{3}}) + 3 \log_{6} (9))$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $108$ в виде $6^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $36$ из $108$ .

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (\sqrt{36 (3)} \cdot 256) - 1 \log_{6} (\frac{2}{\sqrt{3}}) + 3 \log_{6} (9))$

Этап 2.1.2

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (\sqrt{6^{2} \cdot 3} \cdot 256) - 1 \log_{6} (\frac{2}{\sqrt{3}}) + 3 \log_{6} (9))$

Этап 2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (6 \sqrt{3} \cdot 256) - 1 \log_{6} (\frac{2}{\sqrt{3}}) + 3 \log_{6} (9))$

Этап 2.3

Умножим $256$ на $6$ .

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (1536 \sqrt{3}) - 1 \log_{6} (\frac{2}{\sqrt{3}}) + 3 \log_{6} (9))$

Этап 2.4

Умножим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (1536 \sqrt{3}) - 1 \log_{6} (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}) + 3 \log_{6} (9))$

Этап 2.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (1536 \sqrt{3}) - 1 \log_{6} (\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}) + 3 \log_{6} (9))$

Этап 2.5.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (1536 \sqrt{3}) - 1 \log_{6} (\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}) + 3 \log_{6} (9))$

Этап 2.5.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (1536 \sqrt{3}) - 1 \log_{6} (\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}) + 3 \log_{6} (9))$

Этап 2.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (1536 \sqrt{3}) - 1 \log_{6} (\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}) + 3 \log_{6} (9))$

Этап 2.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (1536 \sqrt{3}) - 1 \log_{6} (\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}) + 3 \log_{6} (9))$

Этап 2.5.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (1536 \sqrt{3}) - 1 \log_{6} (\frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}) + 3 \log_{6} (9))$

Этап 2.5.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (1536 \sqrt{3}) - 1 \log_{6} (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) + 3 \log_{6} (9))$

Этап 2.5.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (1536 \sqrt{3}) - 1 \log_{6} (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}) + 3 \log_{6} (9))$

Этап 2.5.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (1536 \sqrt{3}) - 1 \log_{6} (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}) + 3 \log_{6} (9))$

Этап 2.5.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (1536 \sqrt{3}) - 1 \log_{6} (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}) + 3 \log_{6} (9))$

Этап 2.5.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (1536 \sqrt{3}) - 1 \log_{6} (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) + 3 \log_{6} (9))$

Этап 2.6

Перепишем $- 1 \log_{6} (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ в виде $- \log_{6} (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ .

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (1536 \sqrt{3}) - \log_{6} (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) + 3 \log_{6} (9))$

Этап 2.7

Упростим $3 \log_{6} (9)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (1536 \sqrt{3}) - \log_{6} (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) + \log_{6} (9^{3}))$

Этап 2.8

Возведем $9$ в степень $3$ .

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (1536 \sqrt{3}) - \log_{6} (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) + \log_{6} (729))$

Этап 3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (\frac{1536 \sqrt{3}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}) + \log_{6} (729))$

Этап 4

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{6}{7} \cdot \log_{6} (\frac{1536 \sqrt{3}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3}} \cdot 729)$

Этап 5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{6}{7} \cdot \log_{6} (1536 \sqrt{3} \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 729)$

Этап 6

Сократим общий множитель $2 \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $2 \sqrt{3}$ из $1536 \sqrt{3}$ .

$\frac{6}{7} \cdot \log_{6} (2 \sqrt{3} (768) \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 729)$

Этап 6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{6}{7} \cdot \log_{6} (2 \sqrt{3} \cdot 768 \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 729)$

Этап 6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{6}{7} \cdot \log_{6} (768 \cdot 3 \cdot 729)$

Этап 7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $768$ на $3$ .

$\frac{6}{7} \cdot \log_{6} (2304 \cdot 729)$

Этап 7.2

Умножим $2304$ на $729$ .

$\frac{6}{7} \cdot \log_{6} (1679616)$

Этап 7.3

Логарифм $1679616$ по основанию $6$ равен $8$ .

$\frac{6}{7} \cdot 8$

Этап 8

Умножим $\frac{6}{7} \cdot 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{6}{7}$ и $8$ .

$\frac{6 \cdot 8}{7}$

Этап 8.2

Умножим $6$ на $8$ .

$\frac{48}{7}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{48}{7}$

Десятичная форма:

$6.\overline{857142}$

Форма смешанных чисел:

$6 \frac{6}{7}$