Основы мат. анализа Примеры

$\log_{2} (4 x - 4) - \log_{2} (3 x^{2} + x - 4) + \log_{2} (3 x + 4)$

Этап 1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{4 x - 4}{3 x^{2} + x - 4}) + \log_{2} (3 x + 4)$

Этап 2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} (\frac{4 x - 4}{3 x^{2} + x - 4} (3 x + 4))$

Этап 3

Вынесем множитель $4$ из $4 x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$\log_{2} (\frac{4 (x) - 4}{3 x^{2} + x - 4} (3 x + 4))$

Этап 3.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$\log_{2} (\frac{4 (x) + 4 (- 1)}{3 x^{2} + x - 4} (3 x + 4))$

Этап 3.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (x) + 4 (- 1)$ .

$\log_{2} (\frac{4 (x - 1)}{3 x^{2} + x - 4} (3 x + 4))$

Этап 4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ , а сумма — $b = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим на $1$ .

$\log_{2} (\frac{4 (x - 1)}{3 x^{2} + 1 x - 4} (3 x + 4))$

Этап 4.1.2

Запишем $1$ как $- 3$ плюс $4$

$\log_{2} (\frac{4 (x - 1)}{3 x^{2} + (- 3 + 4) x - 4} (3 x + 4))$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{2} (\frac{4 (x - 1)}{3 x^{2} - 3 x + 4 x - 4} (3 x + 4))$

Этап 4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\log_{2} (\frac{4 (x - 1)}{(3 x^{2} - 3 x) + 4 x - 4} (3 x + 4))$

Этап 4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\log_{2} (\frac{4 (x - 1)}{3 x (x - 1) + 4 (x - 1)} (3 x + 4))$

Этап 4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 1$ .

$\log_{2} (\frac{4 (x - 1)}{(x - 1) (3 x + 4)} (3 x + 4))$

Этап 5

Сократим общий множитель $3 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $3 x + 4$ из $(x - 1) (3 x + 4)$ .

$\log_{2} (\frac{4 (x - 1)}{(3 x + 4) (x - 1)} (3 x + 4))$

Этап 5.2

Сократим общий множитель.

$\log_{2} (\frac{4 (x - 1)}{(3 x + 4) (x - 1)} (3 x + 4))$

Этап 5.3

Перепишем это выражение.

$\log_{2} (\frac{4 (x - 1)}{x - 1})$

Этап 6

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель.

$\log_{2} (\frac{4 (x - 1)}{x - 1})$

Этап 6.2

Разделим $4$ на $1$ .

$\log_{2} (4)$

Этап 7

Логарифм $4$ по основанию $2$ равен $2$ .

$2$