Основы мат. анализа Примеры

$\log (\frac{m}{n}) = \frac{\log (m)}{\log (n)}$

Этап 1

Вычтем $\frac{\log (m)}{\log (n)}$ из обеих частей уравнения.

$\log (\frac{m}{n}) - \frac{\log (m)}{\log (n)} = 0$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, \log (n), 1$

Этап 2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$\log (n)$

Этап 3

Каждый член в $\log (\frac{m}{n}) - \frac{\log (m)}{\log (n)} = 0$ умножим на $\log (n)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\log (\frac{m}{n}) - \frac{\log (m)}{\log (n)} = 0$ на $\log (n)$ .

$\log (\frac{m}{n}) \log (n) - \frac{\log (m)}{\log (n)} \log (n) = 0 \log (n)$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $\log (n)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\log (m)}{\log (n)}$ в числитель.

$\log (\frac{m}{n}) \log (n) + \frac{- \log (m)}{\log (n)} \log (n) = 0 \log (n)$

Этап 3.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\log (\frac{m}{n}) \log (n) + \frac{- \log (m)}{\log (n)} \log (n) = 0 \log (n)$

Этап 3.2.1.3

Перепишем это выражение.

$\log (\frac{m}{n}) \log (n) - \log (m) = 0 \log (n)$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $0$ на $\log (n)$ .

$\log (\frac{m}{n}) \log (n) - \log (m) = 0$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $\log (m) = \log (\frac{m}{n}) \log (n)$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$10^{\log (\frac{m}{n}) \log (n)} = m$

Этап 4.2

Решим относительно $m$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (10^{\log (\frac{m}{n}) \log (n)}) = \ln (m)$

Этап 4.2.2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Перепишем $\log (\frac{m}{n})$ в виде $\log (m) - \log (n)$ .

$\ln (10^{(\log (m) - \log (n)) \log (n)}) = \ln (m)$

Этап 4.2.2.2

Развернем $\ln (10^{(\log (m) - \log (n)) \log (n)})$ , вынося $(\log (m) - \log (n)) \log (n)$ из логарифма.

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) = \ln (m)$

Этап 4.2.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10) = \ln (m)$

Этап 4.2.4

Вычтем $\ln (m)$ из обеих частей уравнения.

$\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10) - \ln (m) = 0$

Этап 4.2.5

Чтобы решить относительно $m$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (m)} = e^{\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)}$

Этап 4.2.6

Перепишем $\ln (m) = \log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)} = m$

Этап 4.2.7

Решим относительно $m$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)}) = \ln (m)$

Этап 4.2.7.2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.2.1

Перепишем $\log (\frac{m}{n})$ в виде $\log (m) - \log (n)$ .

$\ln (e^{(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10)}) = \ln (m)$

Этап 4.2.7.2.2

Развернем $\ln (e^{(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10)})$ , вынося $(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10)$ из логарифма.

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) \ln (e) = \ln (m)$

Этап 4.2.7.2.3

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) \cdot 1 = \ln (m)$

Этап 4.2.7.2.4

Умножим $\log (m) - \log (n)$ на $1$ .

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) = \ln (m)$

Этап 4.2.7.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.3.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10) = \ln (m)$

Этап 4.2.7.4

Вычтем $\ln (m)$ из обеих частей уравнения.

$\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10) - \ln (m) = 0$

Этап 4.2.7.5

Чтобы решить относительно $m$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (m)} = e^{\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)}$

Этап 4.2.7.6

$e^{\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)} = m$

Этап 4.2.7.7

Решим относительно $m$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.7.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)}) = \ln (m)$

Этап 4.2.7.7.2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.7.2.1

Перепишем $\log (\frac{m}{n})$ в виде $\log (m) - \log (n)$ .

$\ln (e^{(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10)}) = \ln (m)$

Этап 4.2.7.7.2.2

Развернем $\ln (e^{(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10)})$ , вынося $(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10)$ из логарифма.

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) \ln (e) = \ln (m)$

Этап 4.2.7.7.2.3

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) \cdot 1 = \ln (m)$

Этап 4.2.7.7.2.4

Умножим $\log (m) - \log (n)$ на $1$ .

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) = \ln (m)$

Этап 4.2.7.7.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.7.3.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10) = \ln (m)$

Этап 4.2.7.7.4

Вычтем $\ln (m)$ из обеих частей уравнения.

$\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10) - \ln (m) = 0$

Этап 4.2.7.7.5

Чтобы решить относительно $m$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (m)} = e^{\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)}$

Этап 4.2.7.7.6

$e^{\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)} = m$

Этап 4.2.7.7.7

Решим относительно $m$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.7.7.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)}) = \ln (m)$

Этап 4.2.7.7.7.2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.7.7.2.1

Перепишем $\log (\frac{m}{n})$ в виде $\log (m) - \log (n)$ .

$\ln (e^{(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10)}) = \ln (m)$

Этап 4.2.7.7.7.2.2

Развернем $\ln (e^{(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10)})$ , вынося $(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10)$ из логарифма.

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) \ln (e) = \ln (m)$

Этап 4.2.7.7.7.2.3

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) \cdot 1 = \ln (m)$

Этап 4.2.7.7.7.2.4

Умножим $\log (m) - \log (n)$ на $1$ .

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) = \ln (m)$

Этап 4.2.7.7.7.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.7.7.3.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10) = \ln (m)$

Этап 4.2.7.7.7.4

Вычтем $\ln (m)$ из обеих частей уравнения.

$\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10) - \ln (m) = 0$

Этап 4.2.7.7.7.5

Чтобы решить относительно $m$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (m)} = e^{\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)}$

Этап 4.2.7.7.7.6

$e^{\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)} = m$

Этап 4.2.7.7.7.7

Решим относительно $m$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.7.7.7.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)}) = \ln (m)$

Этап 4.2.7.7.7.7.2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.7.7.7.2.1

Перепишем $\log (\frac{m}{n})$ в виде $\log (m) - \log (n)$ .

$\ln (e^{(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10)}) = \ln (m)$

Этап 4.2.7.7.7.7.2.2

Развернем $\ln (e^{(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10)})$ , вынося $(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10)$ из логарифма.

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) \ln (e) = \ln (m)$

Этап 4.2.7.7.7.7.2.3

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) \cdot 1 = \ln (m)$

Этап 4.2.7.7.7.7.2.4

Умножим $\log (m) - \log (n)$ на $1$ .

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) = \ln (m)$

Этап 4.2.7.7.7.7.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.7.7.7.3.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10) = \ln (m)$

Этап 4.2.7.7.7.7.4

Вычтем $\ln (m)$ из обеих частей уравнения.

$\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10) - \ln (m) = 0$

Этап 4.2.7.7.7.7.5

Чтобы решить относительно $m$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (m)} = e^{\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)}$

Этап 4.2.7.7.7.7.6

$e^{\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)} = m$

Этап 4.2.7.7.7.7.7

Решим относительно $m$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.7.7.7.7.1

Вычтем $m$ из обеих частей уравнения.

$e^{\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)} - m = 0$

Этап 4.2.7.7.7.7.7.2

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$e^{\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)} = m + 0$

Этап 4.2.7.7.7.7.7.3

Добавим $m$ и $0$ .

$e^{\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)} = m$

Этап 4.2.7.7.7.7.7.4

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)}) = \ln (m)$

Этап 4.2.7.7.7.7.7.5

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.7.7.7.7.5.1

Перепишем $\log (\frac{m}{n})$ в виде $\log (m) - \log (n)$ .

$\ln (e^{(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10)}) = \ln (m)$

Этап 4.2.7.7.7.7.7.5.2

Развернем $\ln (e^{(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10)})$ , вынося $(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10)$ из логарифма.

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) \ln (e) = \ln (m)$

Этап 4.2.7.7.7.7.7.5.3

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) \cdot 1 = \ln (m)$

Этап 4.2.7.7.7.7.7.5.4

Умножим $\log (m) - \log (n)$ на $1$ .

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) = \ln (m)$

Этап 4.2.7.7.7.7.7.6

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.7.7.7.7.6.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10) = \ln (m)$

Этап 4.2.7.7.7.7.7.7

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.7.7.7.7.7.1

Перепишем $\log (\frac{m}{n})$ в виде $\log (m) - \log (n)$ .

$\ln (e^{(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10)}) = \ln (m)$

Этап 4.2.7.7.7.7.7.7.2

Развернем $\ln (e^{(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10)})$ , вынося $(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10)$ из логарифма.

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) \ln (e) = \ln (m)$

Этап 4.2.7.7.7.7.7.7.3

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) \cdot 1 = \ln (m)$

Этап 4.2.7.7.7.7.7.7.4

Умножим $\log (m) - \log (n)$ на $1$ .

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) = \ln (m)$