Основы мат. анализа Примеры

${(\frac{625}{81})}^{x + 1} = {(\frac{3}{5})}^{x - 1}$

Этап 1

Возьмем логарифм обеих частей уравнения.

$\ln ({(\frac{625}{81})}^{x + 1}) = \ln ({(\frac{3}{5})}^{x - 1})$

Этап 2

Развернем $\ln ({(\frac{625}{81})}^{x + 1})$ , вынося $x + 1$ из логарифма.

$(x + 1) \ln (\frac{625}{81}) = \ln ({(\frac{3}{5})}^{x - 1})$

Этап 3

Перепишем $\ln (\frac{625}{81})$ в виде $\ln (625) - \ln (81)$ .

$(x + 1) (\ln (625) - \ln (81)) = \ln ({(\frac{3}{5})}^{x - 1})$

Этап 4

Перепишем $\ln (81)$ в виде $\ln (3^{4})$ .

$(x + 1) (\ln (625) - \ln (3^{4})) = \ln ({(\frac{3}{5})}^{x - 1})$

Этап 5

Развернем $\ln (3^{4})$ , вынося $4$ из логарифма.

$(x + 1) (\ln (625) - (4 \ln (3))) = \ln ({(\frac{3}{5})}^{x - 1})$

Этап 6

Умножим $4$ на $- 1$ .

$(x + 1) (\ln (625) - 4 \ln (3)) = \ln ({(\frac{3}{5})}^{x - 1})$

Этап 7

Развернем $\ln ({(\frac{3}{5})}^{x - 1})$ , вынося $x - 1$ из логарифма.

$(x + 1) (\ln (625) - 4 \ln (3)) = (x - 1) \ln (\frac{3}{5})$

Этап 8

Перепишем $\ln (\frac{3}{5})$ в виде $\ln (3) - \ln (5)$ .

$(x + 1) (\ln (625) - 4 \ln (3)) = (x - 1) (\ln (3) - \ln (5))$

Этап 9

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим $(x + 1) (\ln (625) - 4 \ln (3))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Перепишем.

$0 + 0 + (x + 1) (\ln (625) - 4 \ln (3)) = (x - 1) (\ln (3) - \ln (5))$

Этап 9.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$(x + 1) (\ln (625) - 4 \ln (3)) = (x - 1) (\ln (3) - \ln (5))$

Этап 9.1.3

Развернем $(x + 1) (\ln (625) - 4 \ln (3))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (\ln (625) - 4 \ln (3)) + 1 (\ln (625) - 4 \ln (3)) = (x - 1) (\ln (3) - \ln (5))$

Этап 9.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \ln (625) + x (- 4 \ln (3)) + 1 (\ln (625) - 4 \ln (3)) = (x - 1) (\ln (3) - \ln (5))$

Этап 9.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \ln (625) + x (- 4 \ln (3)) + 1 \ln (625) + 1 (- 4 \ln (3)) = (x - 1) (\ln (3) - \ln (5))$

Этап 9.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x \ln (625) - 4 x \ln (3) + 1 \ln (625) + 1 (- 4 \ln (3)) = (x - 1) (\ln (3) - \ln (5))$

Этап 9.1.4.2

Умножим $\ln (625)$ на $1$ .

$x \ln (625) - 4 x \ln (3) + \ln (625) + 1 (- 4 \ln (3)) = (x - 1) (\ln (3) - \ln (5))$

Этап 9.1.4.3

Умножим $- 4 \ln (3)$ на $1$ .

$x \ln (625) - 4 x \ln (3) + \ln (625) - 4 \ln (3) = (x - 1) (\ln (3) - \ln (5))$

Этап 9.2

Упростим $(x - 1) (\ln (3) - \ln (5))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Развернем $(x - 1) (\ln (3) - \ln (5))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x \ln (625) - 4 x \ln (3) + \ln (625) - 4 \ln (3) = x (\ln (3) - \ln (5)) - 1 (\ln (3) - \ln (5))$

Этап 9.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \ln (625) - 4 x \ln (3) + \ln (625) - 4 \ln (3) = x \ln (3) + x (- \ln (5)) - 1 (\ln (3) - \ln (5))$

Этап 9.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \ln (625) - 4 x \ln (3) + \ln (625) - 4 \ln (3) = x \ln (3) + x (- \ln (5)) - 1 \ln (3) - 1 (- \ln (5))$

Этап 9.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x \ln (625) - 4 x \ln (3) + \ln (625) - 4 \ln (3) = x \ln (3) - x \ln (5) - 1 \ln (3) - 1 (- \ln (5))$

Этап 9.2.2.2

Перепишем $- 1 \ln (3)$ в виде $- \ln (3)$ .

$x \ln (625) - 4 x \ln (3) + \ln (625) - 4 \ln (3) = x \ln (3) - x \ln (5) - \ln (3) - 1 (- \ln (5))$

Этап 9.2.2.3

Умножим $- 1 (- \ln (5))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x \ln (625) - 4 x \ln (3) + \ln (625) - 4 \ln (3) = x \ln (3) - x \ln (5) - \ln (3) + 1 \ln (5)$

Этап 9.2.2.3.2

Умножим $\ln (5)$ на $1$ .

$x \ln (625) - 4 x \ln (3) + \ln (625) - 4 \ln (3) = x \ln (3) - x \ln (5) - \ln (3) + \ln (5)$

Этап 9.3

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Вычтем $x \ln (3)$ из обеих частей уравнения.

$x \ln (625) - 4 x \ln (3) + \ln (625) - 4 \ln (3) - x \ln (3) = - x \ln (5) - \ln (3) + \ln (5)$

Этап 9.3.2

Добавим $x \ln (5)$ к обеим частям уравнения.

$x \ln (625) - 4 x \ln (3) + \ln (625) - 4 \ln (3) - x \ln (3) + x \ln (5) = - \ln (3) + \ln (5)$

Этап 9.3.3

Вычтем $x \ln (3)$ из $- 4 x \ln (3)$ .

$x \ln (625) + \ln (625) - 4 \ln (3) - 5 x \ln (3) + x \ln (5) = - \ln (3) + \ln (5)$

Этап 9.4

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Вычтем $\ln (625)$ из обеих частей уравнения.

$x \ln (625) - 4 \ln (3) - 5 x \ln (3) + x \ln (5) = - \ln (3) + \ln (5) - \ln (625)$

Этап 9.4.2

Добавим $4 \ln (3)$ к обеим частям уравнения.

$x \ln (625) - 5 x \ln (3) + x \ln (5) = - \ln (3) + \ln (5) - \ln (625) + 4 \ln (3)$

Этап 9.4.3

Добавим $- \ln (3)$ и $4 \ln (3)$ .

$x \ln (625) - 5 x \ln (3) + x \ln (5) = 3 \ln (3) + \ln (5) - \ln (625)$

Этап 9.5

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (625) - 5 x \ln (3) + x \ln (5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (625)$ .

$x (\ln (625)) - 5 x \ln (3) + x \ln (5) = 3 \ln (3) + \ln (5) - \ln (625)$

Этап 9.5.2

Вынесем множитель $x$ из $- 5 x \ln (3)$ .

$x (\ln (625)) + x (- 5 \ln (3)) + x \ln (5) = 3 \ln (3) + \ln (5) - \ln (625)$

Этап 9.5.3

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (5)$ .

$x (\ln (625)) + x (- 5 \ln (3)) + x (\ln (5)) = 3 \ln (3) + \ln (5) - \ln (625)$

Этап 9.5.4

Вынесем множитель $x$ из $x (\ln (625)) + x (- 5 \ln (3))$ .

$x (\ln (625) - 5 \ln (3)) + x (\ln (5)) = 3 \ln (3) + \ln (5) - \ln (625)$

Этап 9.5.5

Вынесем множитель $x$ из $x (\ln (625) - 5 \ln (3)) + x (\ln (5))$ .

$x (\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)) = 3 \ln (3) + \ln (5) - \ln (625)$

Этап 9.6

Разделим каждый член $x (\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)) = 3 \ln (3) + \ln (5) - \ln (625)$ на $\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1

Разделим каждый член $x (\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)) = 3 \ln (3) + \ln (5) - \ln (625)$ на $\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)$ .

$\frac{x (\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5))}{\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)} = \frac{3 \ln (3)}{\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)} + \frac{\ln (5)}{\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)} + \frac{- \ln (625)}{\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)}$

Этап 9.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.2.1

Сократим общий множитель $\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

Этап 9.6.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3 \ln (3)}{\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)} + \frac{\ln (5)}{\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)} + \frac{- \ln (625)}{\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)}$

Этап 9.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = \frac{3 \ln (3)}{\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)} + \frac{\ln (5)}{\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)} - \frac{\ln (625)}{\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)}$

Этап 9.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{3 \ln (3) + \ln (5)}{\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)} - \frac{\ln (625)}{\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)}$

Этап 9.6.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{3 \ln (3) + \ln (5) - \ln (625)}{\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{3 \ln (3) + \ln (5) - \ln (625)}{\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)}$

Десятичная форма:

$x = - 0.6$