Основы мат. анализа Примеры

$\ln (x + 1) = 2 + \ln (x - 1)$

Этап 1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (x + 1) - \ln (x - 1) = 2$

Этап 2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x + 1}{x - 1}) = 2$

Этап 3

Перепишем $\ln (\frac{x + 1}{x - 1}) = 2$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{2} = \frac{x + 1}{x - 1}$

Этап 4

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$x + 1 = e^{2} (x - 1)$

Этап 5

Упростим $e^{2} (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 1 = e^{2} x + e^{2} \cdot - 1$

Этап 5.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $e^{2}$ .

$x + 1 = e^{2} x - 1 \cdot e^{2}$

Этап 5.2

Перепишем $- 1 e^{2}$ в виде $- e^{2}$ .

$x + 1 = e^{2} x - e^{2}$

Этап 6

Вычтем $e^{2} x$ из обеих частей уравнения.

$x + 1 - e^{2} x = - e^{2}$

Этап 7

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x - e^{2} x = - e^{2} - 1$

Этап 8

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $x$ из $x - e^{2} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x - e^{2} x = - e^{2} - 1$

Этап 8.1.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$x \cdot 1 - e^{2} x = - e^{2} - 1$

Этап 8.1.3

Вынесем множитель $x$ из $- e^{2} x$ .

$x \cdot 1 + x (- e^{2}) = - e^{2} - 1$

Этап 8.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 1 + x (- e^{2})$ .

$x (1 - e^{2}) = - e^{2} - 1$

Этап 8.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x (1^{2} - e^{2}) = - e^{2} - 1$

Этап 8.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = e$ .

$x ((1 + e) (1 - e)) = - e^{2} - 1$

Этап 8.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (1 + e) (1 - e) = - e^{2} - 1$

Этап 9

Разделим каждый член $x (1 + e) (1 - e) = - e^{2} - 1$ на $1 - e^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разделим каждый член $x (1 + e) (1 - e) = - e^{2} - 1$ на $1 - e^{2}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e)}{1 - e^{2}} = \frac{- e^{2}}{1 - e^{2}} + \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

Этап 9.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e)}{1^{2} - e^{2}} = \frac{- e^{2}}{1 - e^{2}} + \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

Этап 9.2.1.2

$\frac{x (1 + e) (1 - e)}{(1 + e) (1 - e)} = \frac{- e^{2}}{1 - e^{2}} + \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

Этап 9.2.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Сократим общий множитель $1 + e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (1 + e) (1 - e)}{(1 + e) (1 - e)} = \frac{- e^{2}}{1 - e^{2}} + \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

Этап 9.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x (1 - e)}{1 - e} = \frac{- e^{2}}{1 - e^{2}} + \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

Этап 9.2.2.2

Сократим общий множитель $1 - e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (1 - e)}{1 - e} = \frac{- e^{2}}{1 - e^{2}} + \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

Этап 9.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- e^{2}}{1 - e^{2}} + \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

Этап 9.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{- e^{2} - 1}{1 - e^{2}}$

Этап 9.3.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} - 1}{1^{2} - e^{2}}$

Этап 9.3.2.2

$x = \frac{- e^{2} - 1}{(1 + e) (1 - e)}$

Этап 9.3.3

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- e^{2}$ .

$x = \frac{- (e^{2}) - 1}{(1 + e) (1 - e)}$

Этап 9.3.3.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- (e^{2}) - 1 (1)}{(1 + e) (1 - e)}$

Этап 9.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (e^{2}) - 1 (1)$ .

$x = \frac{- (e^{2} + 1)}{(1 + e) (1 - e)}$

Этап 9.3.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.4.1

Перепишем $- (e^{2} + 1)$ в виде $- 1 (e^{2} + 1)$ .

$x = \frac{- 1 (e^{2} + 1)}{(1 + e) (1 - e)}$

Этап 9.3.3.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{e^{2} + 1}{(1 + e) (1 - e)}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{e^{2} + 1}{(1 + e) (1 - e)}$

Десятичная форма:

$x = 1.31303528 \dots$