Основы мат. анализа Примеры

$\sum_{k = 1}^{3} k (k + 5)$

Этап 1

Упростим суммирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$k \cdot k + k \cdot 5$

Этап 1.2

Умножим $k$ на $k$ .

$k^{2} + k \cdot 5$

Этап 1.3

Перенесем $5$ влево от $k$ .

$k^{2} + 5 k$

Этап 1.4

Переделаем суммирование.

$\sum_{k = 1}^{3} k^{2} + 5 k$

$\sum_{k = 1}^{3} k^{2} + 5 k$

Этап 2

Формула суммирования многочлена степени $2$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Этап 3

Подставим значения в формулу.

$\frac{3 (3 + 1) (2 \cdot 3 + 1)}{6}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель $3$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 (3 + 1) (2 \cdot 3 + 1)$ .

$\frac{3 ((3 + 1) (2 \cdot 3 + 1))}{6}$

Этап 4.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{3 ((3 + 1) (2 \cdot 3 + 1))}{3 \cdot 2}$

Этап 4.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 ((3 + 1) (2 \cdot 3 + 1))}{3 \cdot 2}$

Этап 4.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(3 + 1) (2 \cdot 3 + 1)}{2}$

$\frac{(3 + 1) (2 \cdot 3 + 1)}{2}$

$\frac{(3 + 1) (2 \cdot 3 + 1)}{2}$

Этап 4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $3$ и $1$ .

$\frac{4 (2 \cdot 3 + 1)}{2}$

Этап 4.2.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{4 (6 + 1)}{2}$

Этап 4.2.3

Добавим $6$ и $1$ .

$\frac{4 \cdot 7}{2}$

$\frac{4 \cdot 7}{2}$

Этап 4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $4$ на $7$ .

$\frac{28}{2}$

Этап 4.3.2

Разделим $28$ на $2$ .

$14$

$14$

$14$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$