Основы мат. анализа Примеры

$\frac{\tan (\frac{π}{3}) - \tan (\frac{π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{6})}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} - \tan (\frac{π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{6})}$

Этап 1.2

Точное значение $\tan (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{6})}$

Этап 1.3

Чтобы записать $\sqrt{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{6})}$

Этап 1.4

Объединим $\sqrt{3}$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3} \cdot 3}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{6})}$

Этап 1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{\sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{6})}$

Этап 1.6

Перепишем $\frac{\sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3}}{3}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Перенесем $3$ влево от $\sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{3 \cdot \sqrt{3} - \sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{6})}$

Этап 1.6.2

Вычтем $\sqrt{3}$ из $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{6})}$

Этап 2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{1 + \sqrt{3} \tan (\frac{π}{6})}$

Этап 2.2

Точное значение $\tan (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{1 + \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Этап 2.3

Умножим $\sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Объединим $\sqrt{3}$ и $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{3}}$

Этап 2.3.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{3}}$

Этап 2.3.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{3}}$

Этап 2.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3}}$

Этап 2.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3}}$

Этап 2.4

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}}$

Этап 2.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}}$

Этап 2.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3}}$

Этап 2.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3}}$

Этап 2.4.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{3^{1}}{3}}$

Этап 2.4.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{3}{3}}$

Этап 2.5

Разделим $3$ на $3$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{1 + 1}$

Этап 2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{2}$

Этап 3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (\sqrt{3})}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Десятичная форма:

$0.57735026 \dots$