Основы мат. анализа Примеры

${(x^{2} + 2 y)}^{2}$

Этап 1

Используем формулу биномиального разложения, чтобы найти каждый член. Бином Ньютона имеет вид ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{2} \frac{2!}{(2 - k)! k!} \cdot {(x^{2})}^{2 - k} \cdot {(2 y)}^{k}$

Этап 2

Развернем сумму.

$\frac{2!}{(2 - 0)! 0!} \cdot {(x^{2})}^{2 - 0} \cdot {(2 y)}^{0} + \frac{2!}{(2 - 1)! 1!} \cdot {(x^{2})}^{2 - 1} \cdot {(2 y)}^{1} + \frac{2!}{(2 - 2)! 2!} \cdot {(x^{2})}^{2 - 2} \cdot {(2 y)}^{2}$

Этап 3

Упростим экспоненты для каждого члена разложения.

$1 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(2 y)}^{0} + 2 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(2 y)}^{1} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(2 y)}^{2}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим ${(x^{2})}^{2}$ на $1$ .

${(x^{2})}^{2} \cdot {(2 y)}^{0} + 2 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(2 y)}^{1} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(2 y)}^{2}$

Этап 4.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2 \cdot 2} \cdot {(2 y)}^{0} + 2 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(2 y)}^{1} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(2 y)}^{2}$

Этап 4.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x^{4} \cdot {(2 y)}^{0} + 2 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(2 y)}^{1} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(2 y)}^{2}$

Этап 4.3

Применим правило умножения к $2 y$ .

$x^{4} \cdot (2^{0} y^{0}) + 2 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(2 y)}^{1} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(2 y)}^{2}$

Этап 4.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2^{0} x^{4} y^{0} + 2 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(2 y)}^{1} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(2 y)}^{2}$

Этап 4.5

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1 x^{4} y^{0} + 2 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(2 y)}^{1} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(2 y)}^{2}$

Этап 4.6

Умножим $x^{4}$ на $1$ .

$x^{4} y^{0} + 2 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(2 y)}^{1} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(2 y)}^{2}$

Этап 4.7

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$x^{4} \cdot 1 + 2 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(2 y)}^{1} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(2 y)}^{2}$

Этап 4.8

Умножим $x^{4}$ на $1$ .

$x^{4} + 2 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(2 y)}^{1} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(2 y)}^{2}$

Этап 4.9

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{4} + 2 \cdot x^{2 \cdot 1} \cdot {(2 y)}^{1} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(2 y)}^{2}$

Этап 4.9.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x^{4} + 2 \cdot x^{2} \cdot {(2 y)}^{1} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(2 y)}^{2}$

Этап 4.10

Упростим.

$x^{4} + 2 x^{2} \cdot (2 y) + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(2 y)}^{2}$

Этап 4.11

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{4} + 2 \cdot 2 x^{2} y + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(2 y)}^{2}$

Этап 4.12

Умножим $2$ на $2$ .

$x^{4} + 4 x^{2} y + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(2 y)}^{2}$

Этап 4.13

Умножим ${(x^{2})}^{0}$ на $1$ .

$x^{4} + 4 x^{2} y + {(x^{2})}^{0} \cdot {(2 y)}^{2}$

Этап 4.14

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{4} + 4 x^{2} y + x^{2 \cdot 0} \cdot {(2 y)}^{2}$

Этап 4.14.2

Умножим $2$ на $0$ .

$x^{4} + 4 x^{2} y + x^{0} \cdot {(2 y)}^{2}$

Этап 4.15

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$x^{4} + 4 x^{2} y + 1 \cdot {(2 y)}^{2}$

Этап 4.16

Умножим ${(2 y)}^{2}$ на $1$ .

$x^{4} + 4 x^{2} y + {(2 y)}^{2}$

Этап 4.17

Применим правило умножения к $2 y$ .

$x^{4} + 4 x^{2} y + 2^{2} y^{2}$

Этап 4.18

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x^{4} + 4 x^{2} y + 4 y^{2}$