Основы мат. анализа Примеры

${(2 n^{3} + 4 m^{2})}^{2}$

Этап 1

Используем формулу биномиального разложения, чтобы найти каждый член. Бином Ньютона имеет вид ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{2} \frac{2!}{(2 - k)! k!} \cdot {(2 n^{3})}^{2 - k} \cdot {(4 m^{2})}^{k}$

Этап 2

Развернем сумму.

$\frac{2!}{(2 - 0)! 0!} \cdot {(2 n^{3})}^{2 - 0} \cdot {(4 m^{2})}^{0} + \frac{2!}{(2 - 1)! 1!} \cdot {(2 n^{3})}^{2 - 1} \cdot {(4 m^{2})}^{1} + \frac{2!}{(2 - 2)! 2!} \cdot {(2 n^{3})}^{2 - 2} \cdot {(4 m^{2})}^{2}$

Этап 3

Упростим экспоненты для каждого члена разложения.

$1 \cdot {(2 n^{3})}^{2} \cdot {(4 m^{2})}^{0} + 2 \cdot {(2 n^{3})}^{1} \cdot {(4 m^{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 n^{3})}^{0} \cdot {(4 m^{2})}^{2}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим ${(2 n^{3})}^{2}$ на $1$ .

${(2 n^{3})}^{2} \cdot {(4 m^{2})}^{0} + 2 \cdot {(2 n^{3})}^{1} \cdot {(4 m^{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 n^{3})}^{0} \cdot {(4 m^{2})}^{2}$

Этап 4.2

Применим правило умножения к $2 n^{3}$ .

$2^{2} {(n^{3})}^{2} \cdot {(4 m^{2})}^{0} + 2 \cdot {(2 n^{3})}^{1} \cdot {(4 m^{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 n^{3})}^{0} \cdot {(4 m^{2})}^{2}$

Этап 4.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {(n^{3})}^{2} \cdot {(4 m^{2})}^{0} + 2 \cdot {(2 n^{3})}^{1} \cdot {(4 m^{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 n^{3})}^{0} \cdot {(4 m^{2})}^{2}$

Этап 4.4

Перемножим экспоненты в ${(n^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 n^{3 \cdot 2} \cdot {(4 m^{2})}^{0} + 2 \cdot {(2 n^{3})}^{1} \cdot {(4 m^{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 n^{3})}^{0} \cdot {(4 m^{2})}^{2}$

Этап 4.4.2

Умножим $3$ на $2$ .

$4 n^{6} \cdot {(4 m^{2})}^{0} + 2 \cdot {(2 n^{3})}^{1} \cdot {(4 m^{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 n^{3})}^{0} \cdot {(4 m^{2})}^{2}$

Этап 4.5

Применим правило умножения к $4 m^{2}$ .

$4 n^{6} \cdot (4^{0} {(m^{2})}^{0}) + 2 \cdot {(2 n^{3})}^{1} \cdot {(4 m^{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 n^{3})}^{0} \cdot {(4 m^{2})}^{2}$

Этап 4.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 \cdot 4^{0} n^{6} {(m^{2})}^{0} + 2 \cdot {(2 n^{3})}^{1} \cdot {(4 m^{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 n^{3})}^{0} \cdot {(4 m^{2})}^{2}$

Этап 4.7

Умножим $4$ на $4^{0}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Умножим $4$ на $4^{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1.1

Возведем $4$ в степень $1$ .

$4^{1} \cdot 4^{0} n^{6} {(m^{2})}^{0} + 2 \cdot {(2 n^{3})}^{1} \cdot {(4 m^{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 n^{3})}^{0} \cdot {(4 m^{2})}^{2}$

Этап 4.7.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4^{1 + 0} n^{6} {(m^{2})}^{0} + 2 \cdot {(2 n^{3})}^{1} \cdot {(4 m^{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 n^{3})}^{0} \cdot {(4 m^{2})}^{2}$

Этап 4.7.2

Добавим $1$ и $0$ .

$4^{1} n^{6} {(m^{2})}^{0} + 2 \cdot {(2 n^{3})}^{1} \cdot {(4 m^{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 n^{3})}^{0} \cdot {(4 m^{2})}^{2}$

Этап 4.8

Упростим $4^{1} n^{6} {(m^{2})}^{0}$ .

$4 n^{6} + 2 \cdot {(2 n^{3})}^{1} \cdot {(4 m^{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 n^{3})}^{0} \cdot {(4 m^{2})}^{2}$

Этап 4.9

Упростим.

$4 n^{6} + 2 \cdot (2 n^{3}) \cdot {(4 m^{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 n^{3})}^{0} \cdot {(4 m^{2})}^{2}$

Этап 4.10

Умножим $2$ на $2$ .

$4 n^{6} + 4 n^{3} \cdot {(4 m^{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 n^{3})}^{0} \cdot {(4 m^{2})}^{2}$

Этап 4.11

Упростим.

$4 n^{6} + 4 n^{3} \cdot (4 m^{2}) + 1 \cdot {(2 n^{3})}^{0} \cdot {(4 m^{2})}^{2}$

Этап 4.12

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 n^{6} + 4 \cdot 4 n^{3} m^{2} + 1 \cdot {(2 n^{3})}^{0} \cdot {(4 m^{2})}^{2}$

Этап 4.13

Умножим $4$ на $4$ .

$4 n^{6} + 16 n^{3} m^{2} + 1 \cdot {(2 n^{3})}^{0} \cdot {(4 m^{2})}^{2}$

Этап 4.14

Умножим ${(2 n^{3})}^{0}$ на $1$ .

$4 n^{6} + 16 n^{3} m^{2} + {(2 n^{3})}^{0} \cdot {(4 m^{2})}^{2}$

Этап 4.15

Применим правило умножения к $2 n^{3}$ .

$4 n^{6} + 16 n^{3} m^{2} + 2^{0} {(n^{3})}^{0} \cdot {(4 m^{2})}^{2}$

Этап 4.16

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$4 n^{6} + 16 n^{3} m^{2} + 1 {(n^{3})}^{0} \cdot {(4 m^{2})}^{2}$

Этап 4.17

Умножим ${(n^{3})}^{0}$ на $1$ .

$4 n^{6} + 16 n^{3} m^{2} + {(n^{3})}^{0} \cdot {(4 m^{2})}^{2}$

Этап 4.18

Перемножим экспоненты в ${(n^{3})}^{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.18.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 n^{6} + 16 n^{3} m^{2} + n^{3 \cdot 0} \cdot {(4 m^{2})}^{2}$

Этап 4.18.2

Умножим $3$ на $0$ .

$4 n^{6} + 16 n^{3} m^{2} + n^{0} \cdot {(4 m^{2})}^{2}$

Этап 4.19

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$4 n^{6} + 16 n^{3} m^{2} + 1 \cdot {(4 m^{2})}^{2}$

Этап 4.20

Умножим ${(4 m^{2})}^{2}$ на $1$ .

$4 n^{6} + 16 n^{3} m^{2} + {(4 m^{2})}^{2}$

Этап 4.21

Применим правило умножения к $4 m^{2}$ .

$4 n^{6} + 16 n^{3} m^{2} + 4^{2} {(m^{2})}^{2}$

Этап 4.22

Возведем $4$ в степень $2$ .

$4 n^{6} + 16 n^{3} m^{2} + 16 {(m^{2})}^{2}$

Этап 4.23

Перемножим экспоненты в ${(m^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.23.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 n^{6} + 16 n^{3} m^{2} + 16 m^{2 \cdot 2}$

Этап 4.23.2

Умножим $2$ на $2$ .

$4 n^{6} + 16 n^{3} m^{2} + 16 m^{4}$