Основы мат. анализа Примеры

${(3 - 2 i)}^{3}$

Этап 1

Используем формулу биномиального разложения, чтобы найти каждый член. Бином Ньютона имеет вид ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(3)}^{3 - k} \cdot {(- 2 i)}^{k}$

Этап 2

Развернем сумму.

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} \cdot {(3)}^{3 - 0} \cdot {(- 2 i)}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} \cdot {(3)}^{3 - 1} \cdot {(- 2 i)}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} \cdot {(3)}^{3 - 2} \cdot {(- 2 i)}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} \cdot {(3)}^{3 - 3} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Этап 3

Упростим экспоненты для каждого члена разложения.

$1 \cdot {(3)}^{3} \cdot {(- 2 i)}^{0} + 3 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Этап 4

Упростим итоговый многочлен.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим ${(3)}^{3}$ на $1$ .

${(3)}^{3} \cdot {(- 2 i)}^{0} + 3 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Этап 4.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 \cdot {(- 2 i)}^{0} + 3 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Этап 4.1.3

Применим правило умножения к $- 2 i$ .

$27 \cdot ({(- 2)}^{0} i^{0}) + 3 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Этап 4.1.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$27 \cdot (1 i^{0}) + 3 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Этап 4.1.5

Умножим $i^{0}$ на $1$ .

$27 \cdot i^{0} + 3 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Этап 4.1.6

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$27 \cdot 1 + 3 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Этап 4.1.7

Умножим $27$ на $1$ .

$27 + 3 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Этап 4.1.8

Умножим $3$ на ${(3)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.1

Умножим $3$ на ${(3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.1.1

Возведем $3$ в степень $1$ .

$27 + 3^{1} \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Этап 4.1.8.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$27 + 3^{1 + 2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Этап 4.1.8.2

Добавим $1$ и $2$ .

$27 + 3^{3} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Этап 4.1.9

Упростим $3^{3} \cdot {(- 2 i)}^{1}$ .

$27 + 3^{3} \cdot (- 2 i) + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Этап 4.1.10

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 + 27 \cdot (- 2 i) + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Этап 4.1.11

Умножим $- 2$ на $27$ .

$27 - 54 i + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Этап 4.1.12

Найдем экспоненту.

$27 - 54 i + 3 \cdot 3 \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Этап 4.1.13

Умножим $3$ на $3$ .

$27 - 54 i + 9 \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Этап 4.1.14

Применим правило умножения к $- 2 i$ .

$27 - 54 i + 9 \cdot ({(- 2)}^{2} i^{2}) + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Этап 4.1.15

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$27 - 54 i + 9 \cdot (4 i^{2}) + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Этап 4.1.16

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$27 - 54 i + 9 \cdot (4 \cdot - 1) + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Этап 4.1.17

Умножим $9 (4 \cdot - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.17.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$27 - 54 i + 9 \cdot - 4 + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Этап 4.1.17.2

Умножим $9$ на $- 4$ .

$27 - 54 i - 36 + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Этап 4.1.18

Умножим ${(3)}^{0}$ на $1$ .

$27 - 54 i - 36 + {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Этап 4.1.19

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$27 - 54 i - 36 + 1 \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Этап 4.1.20

Умножим ${(- 2 i)}^{3}$ на $1$ .

$27 - 54 i - 36 + {(- 2 i)}^{3}$

Этап 4.1.21

Применим правило умножения к $- 2 i$ .

$27 - 54 i - 36 + {(- 2)}^{3} i^{3}$

Этап 4.1.22

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$27 - 54 i - 36 - 8 i^{3}$

Этап 4.1.23

Вынесем $i^{2}$ за скобки.

$27 - 54 i - 36 - 8 (i^{2} \cdot i)$

Этап 4.1.24

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$27 - 54 i - 36 - 8 (- 1 \cdot i)$

Этап 4.1.25

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$27 - 54 i - 36 - 8 (- i)$

Этап 4.1.26

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$27 - 54 i - 36 + 8 i$

Этап 4.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $36$ из $27$ .

$- 9 - 54 i + 8 i$

Этап 4.2.2

Добавим $- 54 i$ и $8 i$ .

$- 9 - 46 i$