Основы мат. анализа Примеры

$- 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot i$

Этап 1

Объединим $i$ и $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- 1 - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Этап 2

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 3

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 4

Подставим фактические значения $a = - 1$ и $b = - \frac{1 \sqrt{3}}{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- \frac{1 \sqrt{3}}{3})}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Этап 5

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$| z | = \sqrt{{(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Этап 5.2

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Этап 5.2.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) + {(- 1)}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) + {(- 1)}^{2}}$

Этап 5.3.2

Умножим $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$ на $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Этап 5.4

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Этап 5.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Этап 5.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Этап 5.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.1

Сократим общий множитель.

$| z | = \sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Этап 5.4.4.2

Перепишем это выражение.

$| z | = \sqrt{\frac{3}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Этап 5.4.5

Найдем экспоненту.

$| z | = \sqrt{\frac{3}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Этап 5.5

Возведем $3$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{3}{9} + {(- 1)}^{2}}$

Этап 5.6

Сократим общий множитель $3$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$| z | = \sqrt{\frac{3 (1)}{9} + {(- 1)}^{2}}$

Этап 5.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$| z | = \sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + {(- 1)}^{2}}$

Этап 5.6.2.2

Сократим общий множитель.

$| z | = \sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + {(- 1)}^{2}}$

Этап 5.6.2.3

Перепишем это выражение.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{3} + {(- 1)}^{2}}$

Этап 5.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{3} + 1}$

Этап 5.7.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}}$

Этап 5.7.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$| z | = \sqrt{\frac{1 + 3}{3}}$

Этап 5.7.4

Добавим $1$ и $3$ .

$| z | = \sqrt{\frac{4}{3}}$

Этап 5.8

Перепишем $\sqrt{\frac{4}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Этап 5.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Этап 5.9.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| z | = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Этап 5.10

Умножим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$| z | = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 5.11

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 5.11.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 5.11.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 5.11.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 5.11.5

Добавим $1$ и $1$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 5.11.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.11.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.11.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.11.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.6.4.1

Сократим общий множитель.

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.11.6.4.2

Перепишем это выражение.

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 5.11.6.5

Найдем экспоненту.

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 6

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{- \frac{1 \sqrt{3}}{3}}{- 1})$

Этап 7

Поскольку обратный тангенс $\frac{- \frac{1 \sqrt{3}}{3}}{- 1}$ дает угол в третьем квадранте, значение угла равно $\frac{7 π}{6}$ .

$θ = \frac{7 π}{6}$

Этап 8

Подставим значения $θ = \frac{7 π}{6}$ и $| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3 (\cos (\frac{7 π}{6}) + i \sin (\frac{7 π}{6}))}$