Основы мат. анализа Примеры

$\frac{2}{3} + 6 i + \frac{5}{2} \cdot i$

Этап 1

Объединим $\frac{5}{2}$ и $i$ .

$\frac{2}{3} + 6 i + \frac{5 i}{2}$

Этап 2

Чтобы записать $6 i$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} + 6 i \cdot \frac{2}{2} + \frac{5 i}{2}$

Этап 3

Объединим $6 i$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{6 i \cdot 2}{2} + \frac{5 i}{2}$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2}{3} + \frac{17 i}{2}$

Этап 5

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 6

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 7

Подставим фактические значения $a = \frac{2}{3}$ и $b = \frac{17}{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(\frac{17}{2})}^{2} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Этап 8

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим правило умножения к $\frac{17}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{17^{2}}{2^{2}} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Этап 8.2

Возведем $17$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{2^{2}} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Этап 8.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Этап 8.4

Применим правило умножения к $\frac{2}{3}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} + \frac{2^{2}}{3^{2}}}$

Этап 8.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} + \frac{4}{3^{2}}}$

Этап 8.6

Возведем $3$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} + \frac{4}{9}}$

Этап 8.7

Чтобы записать $\frac{289}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{4}{9}}$

Этап 8.8

Чтобы записать $\frac{4}{9}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Этап 8.9

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $36$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.9.1

Умножим $\frac{289}{4}$ на $\frac{9}{9}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289 \cdot 9}{4 \cdot 9} + \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Этап 8.9.2

Умножим $4$ на $9$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289 \cdot 9}{36} + \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Этап 8.9.3

Умножим $\frac{4}{9}$ на $\frac{4}{4}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289 \cdot 9}{36} + \frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 4}}$

Этап 8.9.4

Умножим $9$ на $4$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289 \cdot 9}{36} + \frac{4 \cdot 4}{36}}$

Этап 8.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$| z | = \sqrt{\frac{289 \cdot 9 + 4 \cdot 4}{36}}$

Этап 8.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.11.1

Умножим $289$ на $9$ .

$| z | = \sqrt{\frac{2601 + 4 \cdot 4}{36}}$

Этап 8.11.2

Умножим $4$ на $4$ .

$| z | = \sqrt{\frac{2601 + 16}{36}}$

Этап 8.11.3

Добавим $2601$ и $16$ .

$| z | = \sqrt{\frac{2617}{36}}$

Этап 8.12

Перепишем $\sqrt{\frac{2617}{36}}$ в виде $\frac{\sqrt{2617}}{\sqrt{36}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2617}}{\sqrt{36}}$

Этап 8.13

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.13.1

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2617}}{\sqrt{6^{2}}}$

Этап 8.13.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| z | = \frac{\sqrt{2617}}{6}$

Этап 9

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{\frac{17}{2}}{\frac{2}{3}})$

Этап 10

Поскольку обратный тангенс $\frac{\frac{17}{2}}{\frac{2}{3}}$ дает угол в первом квадранте, значение угла равно $1.49252518$ .

$θ = 1.49252518$

Этап 11

Подставим значения $θ = 1.49252518$ и $| z | = \frac{\sqrt{2617}}{6}$ .

$\frac{\sqrt{2617}}{6 (\cos (1.49252518) + i \sin (1.49252518))}$