Основы мат. анализа Примеры

${(1 - i)}^{3}$

Этап 1

Воспользуемся бином Ньютона.

$1^{3} + 3 \cdot 1^{2} (- i) + 3 \cdot 1 {(- i)}^{2} + {(- i)}^{3}$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 3 \cdot 1^{2} (- i) + 3 \cdot 1 {(- i)}^{2} + {(- i)}^{3}$

Этап 2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 3 \cdot 1 (- i) + 3 \cdot 1 {(- i)}^{2} + {(- i)}^{3}$

Этап 2.1.3

Умножим $3$ на $1$ .

$1 + 3 (- i) + 3 \cdot 1 {(- i)}^{2} + {(- i)}^{3}$

Этап 2.1.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$1 - 3 i + 3 \cdot 1 {(- i)}^{2} + {(- i)}^{3}$

Этап 2.1.5

Умножим $3$ на $1$ .

$1 - 3 i + 3 {(- i)}^{2} + {(- i)}^{3}$

Этап 2.1.6

Применим правило умножения к $- i$ .

$1 - 3 i + 3 ({(- 1)}^{2} i^{2}) + {(- i)}^{3}$

Этап 2.1.7

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 - 3 i + 3 (1 i^{2}) + {(- i)}^{3}$

Этап 2.1.8

Умножим $i^{2}$ на $1$ .

$1 - 3 i + 3 i^{2} + {(- i)}^{3}$

Этап 2.1.9

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$1 - 3 i + 3 \cdot - 1 + {(- i)}^{3}$

Этап 2.1.10

Умножим $3$ на $- 1$ .

$1 - 3 i - 3 + {(- i)}^{3}$

Этап 2.1.11

Применим правило умножения к $- i$ .

$1 - 3 i - 3 + {(- 1)}^{3} i^{3}$

Этап 2.1.12

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$1 - 3 i - 3 - i^{3}$

Этап 2.1.13

Вынесем $i^{2}$ за скобки.

$1 - 3 i - 3 - (i^{2} \cdot i)$

Этап 2.1.14

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$1 - 3 i - 3 - (- 1 \cdot i)$

Этап 2.1.15

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$1 - 3 i - 3 - - i$

Этап 2.1.16

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 - 3 i - 3 + 1 i$

Этап 2.1.17

Умножим $i$ на $1$ .

$1 - 3 i - 3 + i$

Этап 2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $3$ из $1$ .

$- 2 - 3 i + i$

Этап 2.2.2

Добавим $- 3 i$ и $i$ .

$- 2 - 2 i$

Этап 3

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 4

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 5

Подставим фактические значения $a = - 2$ и $b = - 2$ .

$| z | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Этап 6

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{4 + {(- 2)}^{2}}$

Этап 6.2

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{4 + 4}$

Этап 6.3

Добавим $4$ и $4$ .

$| z | = \sqrt{8}$

Этап 6.4

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$| z | = \sqrt{4 (2)}$

Этап 6.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Этап 6.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$| z | = 2 \sqrt{2}$

Этап 7

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{- 2}{- 2})$

Этап 8

Поскольку обратный тангенс $\frac{- 2}{- 2}$ дает угол в третьем квадранте, значение угла равно $\frac{5 π}{4}$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Этап 9

Подставим значения $θ = \frac{5 π}{4}$ и $| z | = 2 \sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} (\cos (\frac{5 π}{4}) + i \sin (\frac{5 π}{4}))$