Основы мат. анализа Примеры

$i^{- 17}$

Этап 1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{i^{17}}$

Этап 2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $i^{17}$ в виде ${(i^{4})}^{4} i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем $i^{16}$ за скобки.

$\frac{1}{i^{16} i}$

Этап 2.1.2

Перепишем $i^{16}$ в виде ${(i^{4})}^{4}$ .

$\frac{1}{{(i^{4})}^{4} i}$

Этап 2.2

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{{({(i^{2})}^{2})}^{4} i}$

Этап 2.2.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{1}{{({(- 1)}^{2})}^{4} i}$

Этап 2.2.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{1}{1^{4} i}$

Этап 2.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{1 i}$

Этап 2.4

Умножим $i$ на $1$ .

$\frac{1}{i}$

Этап 3

Умножим числитель и знаменатель $\frac{1}{i}$ на комплексно сопряженное $i$ , чтобы сделать знаменатель вещественным.

$\frac{1}{i} \cdot \frac{i}{i}$

Этап 4

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим.

$\frac{1 i}{i i}$

Этап 4.2

Умножим $i$ на $1$ .

$\frac{i}{i i}$

Этап 4.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{i}{i^{1} i}$

Этап 4.3.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{i}{i^{1} i^{1}}$

Этап 4.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{i}{i^{1 + 1}}$

Этап 4.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{i}{i^{2}}$

Этап 4.3.5

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{i}{- 1}$

Этап 5

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{i}{- 1}$ .

$- 1 \cdot i$

Этап 6

Перепишем $- 1 \cdot i$ в виде $- i$ .

$- i$

Этап 7

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 8

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 9

Подставим фактические значения $a = 0$ и $b = - 1$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2}}$

Этап 10

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{1}$

Этап 10.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$| z | = 1$

Этап 11

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{- 1}{0})$

Этап 12

Поскольку аргумент не определен и $b$ имеет отрицательное значение, угол точки на комплексной плоскости равен $\frac{3 π}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Этап 13

Подставим значения $θ = \frac{3 π}{2}$ и $| z | = 1$ .

$\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2})$