Основы мат. анализа Примеры

$\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot i$

Этап 1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $i$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$

Этап 2

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 3

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 4

Подставим фактические значения $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $b = \frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Этап 5

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Этап 5.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Этап 5.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Этап 5.1.4

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

Этап 5.2

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Этап 5.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Этап 5.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Этап 5.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Сократим общий множитель.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Этап 5.2.4.2

Перепишем это выражение.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{2^{2}}}$

Этап 5.2.5

Найдем экспоненту.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{2^{2}}}$

Этап 5.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}$

Этап 5.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$| z | = \sqrt{\frac{1 + 3}{4}}$

Этап 5.3.3

Добавим $1$ и $3$ .

$| z | = \sqrt{\frac{4}{4}}$

Этап 5.3.4

Разделим $4$ на $4$ .

$| z | = \sqrt{1}$

Этап 5.3.5

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$| z | = 1$

Этап 6

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}})$

Этап 7

Поскольку обратный тангенс $\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ дает угол в первом квадранте, значение угла равно $\frac{π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Этап 8

Подставим значения $θ = \frac{π}{6}$ и $| z | = 1$ .

$\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6})$