Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \sqrt{3 x - 5}$ , $g (x) = x^{2} - 4 x - 12$

Этап 1

Найдем отношение функций.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Заменим обозначения функций в $\frac{f (x)}{g (x)}$ фактическими функциями.

$\frac{\sqrt{3 x - 5}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Этап 1.2

Разложим $x^{2} - 4 x - 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 12$ , а сумма — $- 4$ .

$- 6, 2$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{\sqrt{3 x - 5}}{(x - 6) (x + 2)}$

Этап 2

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{3 x - 5}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$3 x - 5 \geq 0$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Добавим $5$ к обеим частям неравенства.

$3 x \geq 5$

Этап 3.2

Разделим каждый член $3 x \geq 5$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $3 x \geq 5$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} \geq \frac{5}{3}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} \geq \frac{5}{3}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{5}{3}$

Этап 4

Зададим знаменатель в $\frac{\sqrt{3 x - 5}}{(x - 6) (x + 2)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$(x - 6) (x + 2) = 0$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 5.2

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 5.2.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 5.3

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 5.3.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 5.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 6) (x + 2) = 0$ верно.

$x = 6, - 2$

Этап 6

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[\frac{5}{3}, 6) \cup (6, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \geq \frac{5}{3}, x \neq 6}$

Этап 7