Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 9}$ , $g (x) = \sqrt{x - 2}$

Этап 1

Найдем отношение функций.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Заменим обозначения функций в $\frac{f (x)}{g (x)}$ фактическими функциями.

$\frac{\frac{1}{x^{2} - 9}}{\sqrt{x - 2}}$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{x^{2} - 9} \cdot \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$

Этап 1.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} - 3^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$

Этап 1.2.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$

Этап 1.2.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ на $\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} (\frac{1}{\sqrt{x - 2}} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}})$

Этап 1.2.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ на $\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2}}$

Этап 1.2.4.2

Возведем $\sqrt{x - 2}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1} \sqrt{x - 2}}$

Этап 1.2.4.3

Возведем $\sqrt{x - 2}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1} {\sqrt{x - 2}}^{1}}$

Этап 1.2.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1 + 1}}$

Этап 1.2.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{2}}$

Этап 1.2.4.6

Перепишем ${\sqrt{x - 2}}^{2}$ в виде $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x - 2}$ в виде ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.2.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.2.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.2.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.2.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{1}}$

Этап 1.2.4.6.5

Упростим.

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$

Этап 1.2.5

Умножим $\frac{1}{(x + 3) (x - 3)}$ на $\frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$ .

$\frac{\sqrt{x - 2}}{(x + 3) (x - 3) (x - 2)}$

Этап 2

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x - 2}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x - 2 \geq 0$

Этап 3

Добавим $2$ к обеим частям неравенства.

$x \geq 2$

Этап 4

Зададим знаменатель в $\frac{\sqrt{x - 2}}{(x + 3) (x - 3) (x - 2)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$(x + 3) (x - 3) (x - 2) = 0$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 5.2

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 5.2.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 5.3

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 5.3.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 5.4

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 5.4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 5.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 3) (x - 3) (x - 2) = 0$ верно.

$x = - 3, 3, 2$

Этап 6

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(2, 3) \cup (3, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x > 2, x \neq 3}$

Этап 7