Основы мат. анализа Примеры

$25 x^{2} + 2 y^{2} = 50$

Этап 1

Вычтем $25 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 y^{2} = 50 - 25 x^{2}$

Этап 2

Разделим каждый член $2 y^{2} = 50 - 25 x^{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $2 y^{2} = 50 - 25 x^{2}$ на $2$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{50}{2} + \frac{- 25 x^{2}}{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{50}{2} + \frac{- 25 x^{2}}{2}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{50}{2} + \frac{- 25 x^{2}}{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Разделим $50$ на $2$ .

$y^{2} = 25 + \frac{- 25 x^{2}}{2}$

Этап 2.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = 25 - \frac{25 x^{2}}{2}$

Этап 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{25 - \frac{25 x^{2}}{2}}$

Этап 4

Упростим $\pm \sqrt{25 - \frac{25 x^{2}}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы записать $25$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{25 \cdot \frac{2}{2} - \frac{25 x^{2}}{2}}$

Этап 4.2

Объединим $25$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 \cdot 2}{2} - \frac{25 x^{2}}{2}}$

Этап 4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{25 \cdot 2 - 25 x^{2}}{2}}$

Этап 4.4

Вынесем множитель $25$ из $25 \cdot 2 - 25 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $25$ из $25 \cdot 2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (2) - 25 x^{2}}{2}}$

Этап 4.4.2

Вынесем множитель $25$ из $- 25 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (2) + 25 (- x^{2})}{2}}$

Этап 4.4.3

Вынесем множитель $25$ из $25 (2) + 25 (- x^{2})$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (2 - x^{2})}{2}}$

Этап 4.5

Перепишем $\sqrt{\frac{25 (2 - x^{2})}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{25 (2 - x^{2})}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{25 (2 - x^{2})}}{\sqrt{2}}$

Этап 4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5^{2} (2 - x^{2})}}{\sqrt{2}}$

Этап 4.6.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}}$

Этап 4.7

Умножим $\frac{5 \sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 4.8

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Умножим $\frac{5 \sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 4.8.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 4.8.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 4.8.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 4.8.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 4.8.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.8.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.8.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.8.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.8.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 4.8.6.5

Найдем экспоненту.

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{2}$

Этап 4.9

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 (2 - x^{2})}}{2}$

Этап 5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{5 \sqrt{2 (2 - x^{2})}}{2}$

Этап 5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{5 \sqrt{2 (2 - x^{2})}}{2}$

Этап 5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{5 \sqrt{2 (2 - x^{2})}}{2}$

$y = - \frac{5 \sqrt{2 (2 - x^{2})}}{2}$

$y = \frac{5 \sqrt{2 (2 - x^{2})}}{2}$

$y = - \frac{5 \sqrt{2 (2 - x^{2})}}{2}$

Этап 6

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{2 (2 - x^{2})}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$2 (2 - x^{2}) \geq 0$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $2 (2 - x^{2}) \geq 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Разделим каждый член $2 (2 - x^{2}) \geq 0$ на $2$ .

$\frac{2 (2 - x^{2})}{2} \geq \frac{0}{2}$

Этап 7.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (2 - x^{2})}{2} \geq \frac{0}{2}$

Этап 7.1.2.1.2

Разделим $2 - x^{2}$ на $1$ .

$2 - x^{2} \geq \frac{0}{2}$

Этап 7.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$2 - x^{2} \geq 0$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства.

$- x^{2} \geq - 2$

Этап 7.3

Разделим каждый член $- x^{2} \geq - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Разделим каждый член $- x^{2} \geq - 2$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Этап 7.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Этап 7.3.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Этап 7.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$x^{2} \leq 2$

Этап 7.4

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{2}$

Этап 7.5

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \leq \sqrt{2}$

Этап 7.6

Запишем $| x | \leq \sqrt{2}$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 7.6.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x \leq \sqrt{2}$

Этап 7.6.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 7.6.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x \leq \sqrt{2}$

Этап 7.6.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

Этап 7.7

Найдем пересечение $x \leq \sqrt{2}$ и $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{2}$

Этап 7.8

Решим $- x \leq \sqrt{2}$ , когда $x < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Разделим каждый член $- x \leq \sqrt{2}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1.1

Разделим каждый член $- x \leq \sqrt{2}$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Этап 7.8.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Этап 7.8.1.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Этап 7.8.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\sqrt{2}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{2}$

Этап 7.8.1.3.2

Перепишем $- 1 \cdot \sqrt{2}$ в виде $- \sqrt{2}$ .

$x \geq - \sqrt{2}$

Этап 7.8.2

Найдем пересечение $x \geq - \sqrt{2}$ и $x < 0$ .

$- \sqrt{2} \leq x < 0$

Этап 7.9

Найдем объединение решений.

$- \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$

Этап 8

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

Обозначение построения множества:

${x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

Этап 9

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[- 5, 5]$

Обозначение построения множества:

${y | - 5 \leq y \leq 5}$

Этап 10

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $[- \sqrt{2}, \sqrt{2}], {x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

Диапазон: $[- 5, 5], {y | - 5 \leq y \leq 5}$

Этап 11