Основы мат. анализа Примеры

$\sin (w) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\sin (\frac{w}{2})$

Этап 1

Воспользуемся определением синуса, чтобы найти известные стороны прямоугольного треугольника, вписанного в единичную окружность. Квадрант определяет знак каждого значения.

$\sin (w) = \frac{противоположные}{гипотенуза}$

Этап 2

Найдем прилежащую сторону треугольника в единичной окружности. Поскольку гипотенуза и противолежащая сторона известны, используем теорему Пифагора, чтобы найти оставшуюся сторону.

$Смежные = \sqrt{{гипотенуза}^{2} - {противоположные}^{2}}$

Этап 3

Заменим известные значения в уравнении.

$Смежные = \sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Этап 4

Упростим подкоренное выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

Смежный $= \sqrt{4 - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Этап 4.2

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

Смежный $= \sqrt{4 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Смежный $= \sqrt{4 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

Смежный $= \sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Сократим общий множитель.

Смежный $= \sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.2.4.2

Перепишем это выражение.

Смежный $= \sqrt{4 - 3}$

Этап 4.2.5

Найдем экспоненту.

Смежный $= \sqrt{4 - 1 \cdot 3}$

Этап 4.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

Смежный $= \sqrt{4 - 3}$

Этап 4.4

Вычтем $3$ из $4$ .

Смежный $= \sqrt{1}$

Этап 4.5

Любой корень из $1$ равен $1$ .

Смежный $= 1$

Этап 5

Воспользуемся определением синуса, чтобы найти значение $\sin (w)$ .

$\sin (w) = \frac{противоположные}{гипотенуза}$

Этап 6

Подставим известные значения.

$\sin (w) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 7

Развернем $\sin (\frac{w}{2})$ до $\pm \frac{\sqrt{2 (1 - \cos (w))}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим формулу половинного угла для синуса.

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (w)}{2}}$

Этап 7.2

Перепишем $\sqrt{\frac{1 - \cos (w)}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{1 - \cos (w)}}{\sqrt{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)}}{\sqrt{2}}$

Этап 7.3

Умножим $\frac{\sqrt{1 - \cos (w)}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 7.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Умножим $\frac{\sqrt{1 - \cos (w)}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 7.4.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 7.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 7.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 7.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 7.4.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 7.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 7.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 7.4.6.5

Найдем экспоненту.

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{2}$

Этап 7.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (w)) \cdot 2}}{2}$

Этап 7.6

Изменим порядок множителей в $\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (w)) \cdot 2}}{2}$ .

$\pm \frac{\sqrt{2 (1 - \cos (w))}}{2}$

Этап 8

Воспользуемся определением $c o s$ , чтобы найти значение $\cos (w)$ . В данном случае $\cos (w) = \frac{1}{2}$ .

$\cos (w) = \frac{1}{2}$

Этап 9

Подставим значения в $\pm \frac{\sqrt{2 (1 - \cos (w))}}{2}$ .

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2 (1 - \frac{1}{2})}}{2}$

Этап 10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2 (\frac{2}{2} - \frac{1}{2})}}{2}$

Этап 10.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2 (\frac{2 - 1}{2})}}{2}$

Этап 10.3

Вычтем $1$ из $2$ .

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

Этап 10.4

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{\sqrt{\frac{2}{2}}}{2}$

Этап 10.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{\sqrt{1}}{2}$

Этап 10.6

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{1}{2}$