Основы мат. анализа Примеры

$\cos (\frac{5 π}{8}) = - v \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ , $\sin (\frac{5 π}{16})$

Этап 1

Воспользуемся определением косинуса, чтобы найти известные стороны прямоугольного треугольника, вписанного в единичную окружность. Квадрант определяет знак каждого значения.

$\cos (\frac{5 π}{8}) = \frac{смежные}{гипотенуза}$

Этап 2

Найдем противолежащую сторону треугольника в единичной окружности. Поскольку прилежащая сторона и гипотенуза известны, используем теорему Пифагора, чтобы найти оставшуюся сторону.

$Противоположные = \sqrt{{гипотенуза}^{2} - {смежные}^{2}}$

Этап 3

Заменим известные значения в уравнении.

$Противоположные = \sqrt{{(1)}^{2} - {(- v \frac{2 - \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 4

Упростим подкоренное выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = - v \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ .

Противоположный $= \sqrt{(1 - v \frac{2 - \sqrt{2}}{2}) (1 - (- v \frac{2 - \sqrt{2}}{2}))}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ и $v$ .

Противоположный $= \sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 - (- v \frac{2 - \sqrt{2}}{2}))}$

Этап 4.2.2

Объединим $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ и $v$ .

Противоположный $= \sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

Этап 4.2.3

Умножим $- - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

Противоположный $= \sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + 1 (\frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}))}$

Этап 4.2.3.2

Умножим $\frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}$ на $1$ .

Противоположный $= \sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

Этап 5

Воспользуемся определением синуса, чтобы найти значение $\sin (\frac{5 π}{8})$ .

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \frac{противоположные}{гипотенуза}$

Этап 6

Подставим известные значения.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \frac{\sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}}{1}$

Этап 7

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Разделим $\sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$ на $1$ .

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

Этап 7.1.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{(\frac{2}{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

Этап 7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 - (2 - \sqrt{2}) v}{2} \cdot (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

Этап 7.3

Перепишем $\frac{2 - (2 - \sqrt{2}) v}{2}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 + (- 1 \cdot 2 + \sqrt{2}) v}{2} \cdot (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

Этап 7.3.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 + (- 2 + \sqrt{2}) v}{2} \cdot (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

Этап 7.3.3

Умножим $- - \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 + (- 2 + 1 \sqrt{2}) v}{2} \cdot (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

Этап 7.3.3.2

Умножим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 + (- 2 + \sqrt{2}) v}{2} \cdot (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

Этап 7.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 - 2 v + \sqrt{2} v}{2} \cdot (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

Этап 7.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 - 2 v + \sqrt{2} v}{2} \cdot (\frac{2}{2} + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

Этап 7.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 - 2 v + \sqrt{2} v}{2} \cdot \frac{2 + (2 - \sqrt{2}) v}{2}}$

Этап 7.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 - 2 v + \sqrt{2} v}{2} \cdot \frac{2 + 2 v - \sqrt{2} v}{2}}$

Этап 7.7

Умножим $\frac{2 - 2 v + \sqrt{2} v}{2}$ на $\frac{2 + 2 v - \sqrt{2} v}{2}$ .

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)}{2 \cdot 2}}$

Этап 7.8

Умножим $2$ на $2$ .

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)}{4}}$

Этап 7.9

Перепишем $\frac{(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)}{4}$ в виде ${(\frac{1}{2})}^{2} ((2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)$ .

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{1^{2} ((2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v))}{4}}$

Этап 7.9.2

Вынесем полную степень $2^{2}$ из $4$ .

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{1^{2} ((2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v))}{2^{2} \cdot 1}}$

Этап 7.9.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} ((2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v))}$

Этап 7.10

Вынесем члены из-под знака корня.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)}$

Этап 7.11

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sqrt{(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)}$ .

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \frac{\sqrt{(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)}}{2}$

Этап 8

Найдем значение $\sin (\frac{5 π}{16})$ .

$0.83146961$

Этап 9

Подставим значения в $0.83146961$ .

$\sin (\frac{5 π}{16}) = 0.83146961$