Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$ , $g (x) = \sqrt{x + 3}$

Этап 1

Заменим обозначения функций в $f (x) + g (x)$ фактическими функциями.

$\frac{1}{x^{2} - 1} + \sqrt{x + 3}$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} - 1^{2}} + \sqrt{x + 3}$

Этап 2.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)} + \sqrt{x + 3}$

Этап 2.2

Чтобы записать $\sqrt{x + 3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)} + \sqrt{x + 3} \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 2.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Объединим $\sqrt{x + 3}$ и $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{\sqrt{x + 3} ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + \sqrt{x + 3} ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Развернем $(x + 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 + \sqrt{x + 3} (x (x - 1) + 1 (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 2.4.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 + \sqrt{x + 3} (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 2.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 + \sqrt{x + 3} (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 2.4.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{1 + \sqrt{x + 3} (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 2.4.2.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\frac{1 + \sqrt{x + 3} (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 2.4.2.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{1 + \sqrt{x + 3} (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 2.4.2.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{x + 3} (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 2.4.2.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{x + 3} (x^{2} - x + x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 2.4.2.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$\frac{1 + \sqrt{x + 3} (x^{2} + 0 - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 2.4.2.3

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$\frac{1 + \sqrt{x + 3} (x^{2} - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 2.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 + \sqrt{x + 3} x^{2} + \sqrt{x + 3} \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 2.4.4

Перенесем $- 1$ влево от $\sqrt{x + 3}$ .

$\frac{1 + \sqrt{x + 3} x^{2} - 1 \cdot \sqrt{x + 3}}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 2.4.5

Упростим каждый член.

$\frac{1 + \sqrt{x + 3} x^{2} - \sqrt{x + 3}}{(x + 1) (x - 1)}$