Основы мат. анализа Примеры

$(3, - 2)$ , $(- 2, 3)$

Этап 1

Диаметр круга — это отрезок любой прямой, проходящей через центр круга, концы которого находятся на окружности круга. Даны координаты конечных точек диаметра: $(3, - 2)$ и $(- 2, 3)$ . Центр круга расположен в середине диаметра и является средней точкой между $(3, - 2)$ и $(- 2, 3)$ . В данном случае средняя точка имеет координаты $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем формулу медианы, чтобы найти середину отрезка прямой.

$(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2})$

Этап 1.2

Подставим значения вместо $(x_{1}, y_{1})$ и $(x_{2}, y_{2})$ .

$(\frac{3 - 2}{2}, \frac{- 2 + 3}{2})$

Этап 1.3

Вычтем $2$ из $3$ .

$(\frac{1}{2}, \frac{- 2 + 3}{2})$

Этап 1.4

Добавим $- 2$ и $3$ .

$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

Этап 2

Найдем радиус $r$ окружности. Радиус — это отрезок прямой между центром окружности и любой ее точкой. В данном случае, $r$ — это расстояние между $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ и $(3, - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем формулу расстояния для определения расстояние между этими двумя точками.

$Расстояние = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Этап 2.2

Подставим фактические значения точек в формулу расстояния.

$r = \sqrt{{(3 - \frac{1}{2})}^{2} + {((- 2) - \frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$r = \sqrt{{(3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + {((- 2) - \frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 2.3.2

Объединим $3$ и $\frac{2}{2}$ .

$r = \sqrt{{(\frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + {((- 2) - \frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 2.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$r = \sqrt{{(\frac{3 \cdot 2 - 1}{2})}^{2} + {((- 2) - \frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 2.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Умножим $3$ на $2$ .

$r = \sqrt{{(\frac{6 - 1}{2})}^{2} + {((- 2) - \frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 2.3.4.2

Вычтем $1$ из $6$ .

$r = \sqrt{{(\frac{5}{2})}^{2} + {((- 2) - \frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 2.3.5

Применим правило умножения к $\frac{5}{2}$ .

$r = \sqrt{\frac{5^{2}}{2^{2}} + {((- 2) - \frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 2.3.6

Возведем $5$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{2^{2}} + {((- 2) - \frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 2.3.7

Возведем $2$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + {((- 2) - \frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 2.3.8

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 2.3.9

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{2}$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + {(\frac{- 2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 2.3.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + {(\frac{- 2 \cdot 2 - 1}{2})}^{2}}$

Этап 2.3.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + {(\frac{- 4 - 1}{2})}^{2}}$

Этап 2.3.11.2

Вычтем $1$ из $- 4$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + {(\frac{- 5}{2})}^{2}}$

Этап 2.3.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Этап 2.3.13

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.13.1

Применим правило умножения к $- \frac{5}{2}$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}}$

Этап 2.3.13.2

Применим правило умножения к $\frac{5}{2}$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{2^{2}})}$

Этап 2.3.14

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.14.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + 1 (\frac{5^{2}}{2^{2}})}$

Этап 2.3.14.2

Умножим $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{5^{2}}{2^{2}}}$

Этап 2.3.14.3

Возведем $5$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25}{2^{2}}}$

Этап 2.3.14.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25}{4}}$

Этап 2.3.14.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$r = \sqrt{\frac{25 + 25}{4}}$

Этап 2.3.14.6

Добавим $25$ и $25$ .

$r = \sqrt{\frac{50}{4}}$

Этап 2.3.15

Сократим общий множитель $50$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.15.1

Вынесем множитель $2$ из $50$ .

$r = \sqrt{\frac{2 (25)}{4}}$

Этап 2.3.15.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.15.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$r = \sqrt{\frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 2}}$

Этап 2.3.15.2.2

Сократим общий множитель.

$r = \sqrt{\frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 2}}$

Этап 2.3.15.2.3

Перепишем это выражение.

$r = \sqrt{\frac{25}{2}}$

Этап 2.3.16

Перепишем $\sqrt{\frac{25}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{2}}$ .

$r = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{2}}$

Этап 2.3.17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.17.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$r = \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{2}}$

Этап 2.3.17.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$r = \frac{5}{\sqrt{2}}$

Этап 2.3.18

Умножим $\frac{5}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$r = \frac{5}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 2.3.19

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.19.1

Умножим $\frac{5}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$r = \frac{5 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 2.3.19.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$r = \frac{5 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 2.3.19.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$r = \frac{5 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 2.3.19.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$r = \frac{5 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 2.3.19.5

Добавим $1$ и $1$ .

$r = \frac{5 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 2.3.19.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.19.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \frac{5 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.3.19.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \frac{5 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.3.19.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$r = \frac{5 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.3.19.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.19.6.4.1

Сократим общий множитель.

$r = \frac{5 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.3.19.6.4.2

Перепишем это выражение.

$r = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.3.19.6.5

Найдем экспоненту.

$r = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Этап 3

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$ — форма уравнения окружности с радиусом $r$ и центральной точкой $(h, k)$ . В этом случае $r = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ и центральная точка — $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ . Уравнение окружности: ${(x - (\frac{1}{2}))}^{2} + {(y - (\frac{1}{2}))}^{2} = {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2}$ .

${(x - (\frac{1}{2}))}^{2} + {(y - (\frac{1}{2}))}^{2} = {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Этап 4

Уравнение окружности имеет вид ${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{25}{2}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{25}{2}$

Этап 5