Основы мат. анализа Примеры

$\cos (x) = \frac{3}{5}$ , $\cos (2 x)$

Этап 1

Воспользуемся определением косинуса, чтобы найти известные стороны прямоугольного треугольника, вписанного в единичную окружность. Квадрант определяет знак каждого значения.

$\cos (x) = \frac{смежные}{гипотенуза}$

Этап 2

Найдем противолежащую сторону треугольника в единичной окружности. Поскольку прилежащая сторона и гипотенуза известны, используем теорему Пифагора, чтобы найти оставшуюся сторону.

$Противоположные = \sqrt{{гипотенуза}^{2} - {смежные}^{2}}$

Этап 3

Заменим известные значения в уравнении.

$Противоположные = \sqrt{{(5)}^{2} - {(3)}^{2}}$

Этап 4

Упростим подкоренное выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

Противоположный $= \sqrt{25 - {(3)}^{2}}$

Этап 4.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

Противоположный $= \sqrt{25 - 1 \cdot 9}$

Этап 4.3

Умножим $- 1$ на $9$ .

Противоположный $= \sqrt{25 - 9}$

Этап 4.4

Вычтем $9$ из $25$ .

Противоположный $= \sqrt{16}$

Этап 4.5

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

Противоположный $= \sqrt{4^{2}}$

Этап 4.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

Противоположный $= 4$

Этап 5

Воспользуемся определением косинуса, чтобы найти значение $\cos (x)$ .

$\cos (x) = \frac{смежные}{гипотенуза}$

Этап 6

Подставим известные значения.

$\cos (x) = \frac{3}{5}$

Этап 7

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1$

Этап 8

Воспользуемся определением $c o s$ , чтобы найти значение $\cos (x)$ . В данном случае $\cos (x) = \frac{3}{5}$ .

$\cos (x) = \frac{3}{5}$

Этап 9

Подставим значения в $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$\cos (2 x) = 2 {(\frac{3}{5})}^{2} - 1$

Этап 10

Найдем значение $2 {(\frac{3}{5})}^{2} - 1$ , чтобы найти $\cos (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Применим правило умножения к $\frac{3}{5}$ .

$\cos (2 x) = 2 (\frac{3^{2}}{5^{2}}) - 1$

Этап 10.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\cos (2 x) = 2 (\frac{9}{5^{2}}) - 1$

Этап 10.1.3

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\cos (2 x) = 2 (\frac{9}{25}) - 1$

Этап 10.1.4

Умножим $2 (\frac{9}{25})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.4.1

Объединим $2$ и $\frac{9}{25}$ .

$\cos (2 x) = \frac{2 \cdot 9}{25} - 1$

Этап 10.1.4.2

Умножим $2$ на $9$ .

$\cos (2 x) = \frac{18}{25} - 1$

Этап 10.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{25}{25}$ .

$\cos (2 x) = \frac{18}{25} - 1 \cdot \frac{25}{25}$

Этап 10.3

Объединим $- 1$ и $\frac{25}{25}$ .

$\cos (2 x) = \frac{18}{25} + \frac{- 1 \cdot 25}{25}$

Этап 10.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\cos (2 x) = \frac{18 - 1 \cdot 25}{25}$

Этап 10.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Умножим $- 1$ на $25$ .

$\cos (2 x) = \frac{18 - 25}{25}$

Этап 10.5.2

Вычтем $25$ из $18$ .

$\cos (2 x) = \frac{- 7}{25}$

Этап 10.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos (2 x) = - \frac{7}{25}$