Основы мат. анализа Примеры

$(\frac{\sqrt{5}}{2}, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Этап 1

Чтобы найти $\sin (θ)$ угла между осью x и прямой, соединяющей точки $(0, 0)$ и $(\frac{\sqrt{5}}{2}, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ , нарисуем треугольник с вершинами в точках $(0, 0)$ , $(\frac{\sqrt{5}}{2}, 0)$ и $(\frac{\sqrt{5}}{2}, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ .

Противоположное: $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Смежный: $\frac{\sqrt{5}}{2}$

Этап 2

Найдем гипотенузу, используя теорему Пифагора $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{5}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Этап 2.2

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Этап 2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Этап 2.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{5^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Этап 2.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{5^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Этап 2.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{5^{1}}{2^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Этап 2.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{\frac{5}{2^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Этап 2.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{5}{4} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Этап 2.4

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим правило умножения к $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{{(2 \sqrt{5})}^{2}}{5^{2}}}$

Этап 2.4.2

Применим правило умножения к $2 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{2^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}}$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{4 {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}}$

Этап 2.5.2

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}}}$

Этап 2.5.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}}}$

Этап 2.5.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}}$

Этап 2.5.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}}$

Этап 2.5.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{4 \cdot 5^{1}}{5^{2}}}$

Этап 2.5.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{4 \cdot 5}{5^{2}}}$

Этап 2.6

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{4 \cdot 5}{25}}$

Этап 2.6.2

Умножим $4$ на $5$ .

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{20}{25}}$

Этап 2.6.3

Сократим общий множитель $20$ и $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1

Вынесем множитель $5$ из $20$ .

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{5 (4)}{25}}$

Этап 2.6.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.2.1

Вынесем множитель $5$ из $25$ .

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 5}}$

Этап 2.6.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 5}}$

Этап 2.6.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{4}{5}}$

Этап 2.7

Чтобы записать $\frac{5}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\sqrt{\frac{5}{4} \cdot \frac{5}{5} + \frac{4}{5}}$

Этап 2.8

Чтобы записать $\frac{4}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{5}{4} \cdot \frac{5}{5} + \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{4}}$

Этап 2.9

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $20$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Умножим $\frac{5}{4}$ на $\frac{5}{5}$ .

$\sqrt{\frac{5 \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{4}}$

Этап 2.9.2

Умножим $4$ на $5$ .

$\sqrt{\frac{5 \cdot 5}{20} + \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{4}}$

Этап 2.9.3

Умножим $\frac{4}{5}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{5 \cdot 5}{20} + \frac{4 \cdot 4}{5 \cdot 4}}$

Этап 2.9.4

Умножим $5$ на $4$ .

$\sqrt{\frac{5 \cdot 5}{20} + \frac{4 \cdot 4}{20}}$

Этап 2.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{5 \cdot 5 + 4 \cdot 4}{20}}$

Этап 2.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Умножим $5$ на $5$ .

$\sqrt{\frac{25 + 4 \cdot 4}{20}}$

Этап 2.11.2

Умножим $4$ на $4$ .

$\sqrt{\frac{25 + 16}{20}}$

Этап 2.11.3

Добавим $25$ и $16$ .

$\sqrt{\frac{41}{20}}$

Этап 2.12

Перепишем $\sqrt{\frac{41}{20}}$ в виде $\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{20}}$ .

$\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{20}}$

Этап 2.13

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{4 (5)}}$

Этап 2.13.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}$

Этап 2.13.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{\sqrt{41}}{2 \sqrt{5}}$

Этап 2.14

Умножим $\frac{\sqrt{41}}{2 \sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{41}}{2 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Этап 2.15

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.1

Умножим $\frac{\sqrt{41}}{2 \sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{41} \sqrt{5}}{2 \sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 2.15.2

Перенесем $\sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{41} \sqrt{5}}{2 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

Этап 2.15.3

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{41} \sqrt{5}}{2 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}$

Этап 2.15.4

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{41} \sqrt{5}}{2 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}$

Этап 2.15.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{41} \sqrt{5}}{2 {\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Этап 2.15.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{41} \sqrt{5}}{2 {\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 2.15.7

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{41} \sqrt{5}}{2 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.15.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{41} \sqrt{5}}{2 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.15.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{41} \sqrt{5}}{2 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.15.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{41} \sqrt{5}}{2 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.15.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{41} \sqrt{5}}{2 \cdot 5^{1}}$

Этап 2.15.7.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{41} \sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

Этап 2.16

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{41 \cdot 5}}{2 \cdot 5}$

Этап 2.16.2

Умножим $41$ на $5$ .

$\frac{\sqrt{205}}{2 \cdot 5}$

Этап 2.17

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{\sqrt{205}}{10}$

Этап 3

$\sin (θ) = \frac{Противоположные}{Гипотенуза}$ , следовательно $\sin (θ) = \frac{\frac{2 \sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{205}}{10}}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{205}}{10}}$

Этап 4

Упростим $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{10}{\sqrt{205}}$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $5$ из $10$ .

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{5 (2)}{\sqrt{205}}$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель.

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{5 \cdot 2}{\sqrt{205}}$

Этап 4.2.3

Перепишем это выражение.

$\sin (θ) = 2 \sqrt{5} (\frac{2}{\sqrt{205}})$

Этап 4.3

Объединим $\frac{2}{\sqrt{205}}$ и $2$ .

$\sin (θ) = \frac{2 \cdot 2}{\sqrt{205}} \cdot \sqrt{5}$

Этап 4.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\sin (θ) = \frac{4}{\sqrt{205}} \cdot \sqrt{5}$

Этап 4.5

Объединим $\frac{4}{\sqrt{205}}$ и $\sqrt{5}$ .

$\sin (θ) = \frac{4 \sqrt{5}}{\sqrt{205}}$

Этап 4.6

Объединим $\sqrt{5}$ и $\sqrt{205}$ под одним знаком корня.

$\sin (θ) = 4 \sqrt{\frac{5}{205}}$

Этап 4.7

Сократим общий множитель $5$ и $205$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\sin (θ) = 4 \sqrt{\frac{5 (1)}{205}}$

Этап 4.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.1

Вынесем множитель $5$ из $205$ .

$\sin (θ) = 4 \sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 41}}$

Этап 4.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\sin (θ) = 4 \sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 41}}$

Этап 4.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\sin (θ) = 4 \sqrt{\frac{1}{41}}$

Этап 4.8

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{41}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{41}}$ .

$\sin (θ) = 4 (\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{41}})$

Этап 4.9

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\sin (θ) = 4 (\frac{1}{\sqrt{41}})$

Этап 4.10

Умножим $\frac{1}{\sqrt{41}}$ на $\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}}$ .

$\sin (θ) = 4 (\frac{1}{\sqrt{41}} \cdot \frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}})$

Этап 4.11

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{41}}$ на $\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}}$ .

$\sin (θ) = 4 (\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41} \sqrt{41}})$

Этап 4.11.2

Возведем $\sqrt{41}$ в степень $1$ .

$\sin (θ) = 4 (\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41} \sqrt{41}})$

Этап 4.11.3

Возведем $\sqrt{41}$ в степень $1$ .

$\sin (θ) = 4 (\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41} \sqrt{41}})$

Этап 4.11.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (θ) = 4 (\frac{\sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{1 + 1}})$

Этап 4.11.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (θ) = 4 (\frac{\sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{2}})$

Этап 4.11.6

Перепишем ${\sqrt{41}}^{2}$ в виде $41$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{41}$ в виде $41^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = 4 (\frac{\sqrt{41}}{{(41^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Этап 4.11.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = 4 (\frac{\sqrt{41}}{41^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Этап 4.11.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sin (θ) = 4 (\frac{\sqrt{41}}{41^{\frac{2}{2}}})$

Этап 4.11.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (θ) = 4 (\frac{\sqrt{41}}{41^{\frac{2}{2}}})$

Этап 4.11.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (θ) = 4 (\frac{\sqrt{41}}{41})$

Этап 4.11.6.5

Найдем экспоненту.

$\sin (θ) = 4 (\frac{\sqrt{41}}{41})$

Этап 4.12

Объединим $4$ и $\frac{\sqrt{41}}{41}$ .

$\sin (θ) = \frac{4 \sqrt{41}}{41}$

Этап 5

Аппроксимируем результат.

$\sin (θ) = \frac{4 \sqrt{41}}{41} \approx 0.62469504$