Основы мат. анализа Примеры

${(\cos (x) - \sin (x))}^{2}$

Этап 1

Используем формулу биномиального разложения, чтобы найти каждый член. Бином Ньютона имеет вид ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{2} \frac{2!}{(2 - k)! k!} \cdot {(\cos (x))}^{2 - k} \cdot {(- \sin (x))}^{k}$

Этап 2

Развернем сумму.

$\frac{2!}{(2 - 0)! 0!} \cdot {(\cos (x))}^{2 - 0} \cdot {(- \sin (x))}^{0} + \frac{2!}{(2 - 1)! 1!} \cdot {(\cos (x))}^{2 - 1} \cdot {(- \sin (x))}^{1} + \frac{2!}{(2 - 2)! 2!} \cdot {(\cos (x))}^{2 - 2} \cdot {(- \sin (x))}^{2}$

Этап 3

Упростим экспоненты для каждого члена разложения.

$1 \cdot \cos^{2} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{0} + 2 \cdot \cos^{1} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{1} + 1 \cdot \cos^{0} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{2}$

Этап 4

Упростим итоговый многочлен.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $\cos^{2} (x)$ на $1$ .

$\cos^{2} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{0} + 2 \cdot \cos^{1} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{1} + 1 \cdot \cos^{0} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{2}$

Этап 4.1.2

Применим правило умножения к $- \sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) \cdot ({(- 1)}^{0} \sin^{0} (x)) + 2 \cdot \cos^{1} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{1} + 1 \cdot \cos^{0} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{2}$

Этап 4.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

${(- 1)}^{0} \cos^{2} (x) \sin^{0} (x) + 2 \cdot \cos^{1} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{1} + 1 \cdot \cos^{0} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{2}$

Этап 4.1.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1 \cos^{2} (x) \sin^{0} (x) + 2 \cdot \cos^{1} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{1} + 1 \cdot \cos^{0} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{2}$

Этап 4.1.5

Умножим $\cos^{2} (x)$ на $1$ .

$\cos^{2} (x) \sin^{0} (x) + 2 \cdot \cos^{1} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{1} + 1 \cdot \cos^{0} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{2}$

Этап 4.1.6

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\cos^{2} (x) \cdot 1 + 2 \cdot \cos^{1} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{1} + 1 \cdot \cos^{0} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{2}$

Этап 4.1.7

Умножим $\cos^{2} (x)$ на $1$ .

$\cos^{2} (x) + 2 \cdot \cos^{1} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{1} + 1 \cdot \cos^{0} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{2}$

Этап 4.1.8

Упростим.

$\cos^{2} (x) + 2 \cdot \cos (x) \cdot {(- \sin (x))}^{1} + 1 \cdot \cos^{0} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{2}$

Этап 4.1.9

Упростим.

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cdot (- \sin (x)) + 1 \cdot \cos^{0} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{2}$

Этап 4.1.10

Изменим порядок $2 \cos (x)$ и $- \sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) - \sin (x) \cdot (2 \cos (x)) + 1 \cdot \cos^{0} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{2}$

Этап 4.1.11

Добавим круглые скобки.

$\cos^{2} (x) - (\sin (x) \cdot (2 \cos (x))) + 1 \cdot \cos^{0} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{2}$

Этап 4.1.12

Изменим порядок $\sin (x)$ и $2$ .

$\cos^{2} (x) - (2 \cdot \sin (x) \cos (x)) + 1 \cdot \cos^{0} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{2}$

Этап 4.1.13

Применим формулу двойного угла для синуса.

$\cos^{2} (x) - \sin (2 x) + 1 \cdot \cos^{0} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{2}$

Этап 4.1.14

Умножим $\cos^{0} (x)$ на $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin (2 x) + \cos^{0} (x) \cdot {(- \sin (x))}^{2}$

Этап 4.1.15

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin (2 x) + 1 \cdot {(- \sin (x))}^{2}$

Этап 4.1.16

Умножим ${(- \sin (x))}^{2}$ на $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin (2 x) + {(- \sin (x))}^{2}$

Этап 4.1.17

Применим правило умножения к $- \sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) - \sin (2 x) + {(- 1)}^{2} \sin^{2} (x)$

Этап 4.1.18

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\cos^{2} (x) - \sin (2 x) + 1 \sin^{2} (x)$

Этап 4.1.19

Умножим $\sin^{2} (x)$ на $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin (2 x) + \sin^{2} (x)$

Этап 4.2

Перенесем $\sin^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) - \sin (2 x)$

Этап 4.3

Переставляем члены.

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - \sin (2 x)$

Этап 4.4

Применим формулу Пифагора.

$1 - \sin (2 x)$