Основы мат. анализа Примеры

$3 x^{2} + y^{2} = 28$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения эллипса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член на $28$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{3 x^{2}}{28} + \frac{y^{2}}{28} = \frac{28}{28}$

Этап 1.2

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{x^{2}}{\frac{28}{3}} + \frac{y^{2}}{28} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = 2 \sqrt{7}$

$b = \frac{2 \sqrt{21}}{3}$

$k = 0$

$h = 0$

Этап 4

Центр эллипса имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(0, 0)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса эллипса, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(2 \sqrt{7})}^{2} - {(\frac{2 \sqrt{21}}{3})}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Применим правило умножения к $2 \sqrt{7}$ .

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{7}}^{2} - {(\frac{2 \sqrt{21}}{3})}^{2}}$

Этап 5.3.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{7}}^{2} - {(\frac{2 \sqrt{21}}{3})}^{2}}$

Этап 5.3.2

Перепишем ${\sqrt{7}}^{2}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(\frac{2 \sqrt{21}}{3})}^{2}}$

Этап 5.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(\frac{2 \sqrt{21}}{3})}^{2}}$

Этап 5.3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 7^{\frac{2}{2}} - {(\frac{2 \sqrt{21}}{3})}^{2}}$

Этап 5.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{4 \cdot 7^{\frac{2}{2}} - {(\frac{2 \sqrt{21}}{3})}^{2}}$

Этап 5.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{4 \cdot 7^{1} - {(\frac{2 \sqrt{21}}{3})}^{2}}$

Этап 5.3.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{4 \cdot 7 - {(\frac{2 \sqrt{21}}{3})}^{2}}$

Этап 5.3.3

Умножим $4$ на $7$ .

$\sqrt{28 - {(\frac{2 \sqrt{21}}{3})}^{2}}$

Этап 5.3.4

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Применим правило умножения к $\frac{2 \sqrt{21}}{3}$ .

$\sqrt{28 - \frac{{(2 \sqrt{21})}^{2}}{3^{2}}}$

Этап 5.3.4.2

Применим правило умножения к $2 \sqrt{21}$ .

$\sqrt{28 - \frac{2^{2} {\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}}}$

Этап 5.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{28 - \frac{4 {\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}}}$

Этап 5.3.5.2

Перепишем ${\sqrt{21}}^{2}$ в виде $21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{21}$ в виде $21^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{28 - \frac{4 {(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}}$

Этап 5.3.5.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{28 - \frac{4 \cdot 21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}}$

Этап 5.3.5.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{28 - \frac{4 \cdot 21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}$

Этап 5.3.5.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{28 - \frac{4 \cdot 21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}$

Этап 5.3.5.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{28 - \frac{4 \cdot 21^{1}}{3^{2}}}$

Этап 5.3.5.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{28 - \frac{4 \cdot 21}{3^{2}}}$

Этап 5.3.6

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{28 - \frac{4 \cdot 21}{9}}$

Этап 5.3.6.2

Умножим $4$ на $21$ .

$\sqrt{28 - \frac{84}{9}}$

Этап 5.3.6.3

Сократим общий множитель $84$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.1

Вынесем множитель $3$ из $84$ .

$\sqrt{28 - \frac{3 (28)}{9}}$

Этап 5.3.6.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\sqrt{28 - \frac{3 \cdot 28}{3 \cdot 3}}$

Этап 5.3.6.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{28 - \frac{3 \cdot 28}{3 \cdot 3}}$

Этап 5.3.6.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{28 - \frac{28}{3}}$

Этап 5.3.7

Чтобы записать $28$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{28 \cdot \frac{3}{3} - \frac{28}{3}}$

Этап 5.3.8

Объединим $28$ и $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{28 \cdot 3}{3} - \frac{28}{3}}$

Этап 5.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{28 \cdot 3 - 28}{3}}$

Этап 5.3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.10.1

Умножим $28$ на $3$ .

$\sqrt{\frac{84 - 28}{3}}$

Этап 5.3.10.2

Вычтем $28$ из $84$ .

$\sqrt{\frac{56}{3}}$

Этап 5.3.11

Перепишем $\sqrt{\frac{56}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{56}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{56}}{\sqrt{3}}$

Этап 5.3.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.12.1

Перепишем $56$ в виде $2^{2} \cdot 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.12.1.1

Вынесем множитель $4$ из $56$ .

$\frac{\sqrt{4 (14)}}{\sqrt{3}}$

Этап 5.3.12.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 14}}{\sqrt{3}}$

Этап 5.3.12.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{2 \sqrt{14}}{\sqrt{3}}$

Этап 5.3.13

Умножим $\frac{2 \sqrt{14}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2 \sqrt{14}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 5.3.14

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.14.1

Умножим $\frac{2 \sqrt{14}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 5.3.14.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 5.3.14.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 5.3.14.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 5.3.14.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 5.3.14.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.14.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.3.14.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.3.14.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.14.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.14.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.14.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 5.3.14.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{3}}{3}$

Этап 5.3.15

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.15.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{2 \sqrt{3 \cdot 14}}{3}$

Этап 5.3.15.2

Умножим $3$ на $14$ .

$\frac{2 \sqrt{42}}{3}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину эллипса можно найти, добавив $a$ к $k$ .

$(h, k + a)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(0, 0 + 2 \sqrt{7})$

Этап 6.3

Упростим.

$(0, 2 \sqrt{7})$

Этап 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Этап 6.5

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(0, 0 - (2 \sqrt{7}))$

Этап 6.6

Упростим.

$(0, - 2 \sqrt{7})$

Этап 6.7

Эллипсы имеют две вершины.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 2 \sqrt{7})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2 \sqrt{7})$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 2 \sqrt{7})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2 \sqrt{7})$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус эллипса можно найти, добавив $c$ к $k$ .

$(h, k + c)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(0, 0 + \frac{2 \sqrt{42}}{3})$

Этап 7.3

Упростим.

$(0, \frac{2 \sqrt{42}}{3})$

Этап 7.4

Первый фокус эллипса можно найти, вычтя $c$ из $k$ .

$(h, k - c)$

Этап 7.5

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(0, 0 - (\frac{2 \sqrt{42}}{3}))$

Этап 7.6

Упростим.

$(0, - \frac{2 \sqrt{42}}{3})$

Этап 7.7

Эллипсы имеют два фокуса.

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{2 \sqrt{42}}{3})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{2 \sqrt{42}}{3})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{2 \sqrt{42}}{3})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{2 \sqrt{42}}{3})$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(2 \sqrt{7})}^{2} - {(\frac{2 \sqrt{21}}{3})}^{2}}}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Применим правило умножения к $2 \sqrt{7}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} {\sqrt{7}}^{2} - {(\frac{2 \sqrt{21}}{3})}^{2}}}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{4 {\sqrt{7}}^{2} - {(\frac{2 \sqrt{21}}{3})}^{2}}}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.3

Перепишем ${\sqrt{7}}^{2}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(\frac{2 \sqrt{21}}{3})}^{2}}}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(\frac{2 \sqrt{21}}{3})}^{2}}}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 7^{\frac{2}{2}} - {(\frac{2 \sqrt{21}}{3})}^{2}}}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 7^{\frac{2}{2}} - {(\frac{2 \sqrt{21}}{3})}^{2}}}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 7^{1} - {(\frac{2 \sqrt{21}}{3})}^{2}}}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.3.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 7 - {(\frac{2 \sqrt{21}}{3})}^{2}}}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.4

Умножим $4$ на $7$ .

$\frac{\sqrt{28 - {(\frac{2 \sqrt{21}}{3})}^{2}}}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.5

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.5.1

Применим правило умножения к $\frac{2 \sqrt{21}}{3}$ .

$\frac{\sqrt{28 - \frac{{(2 \sqrt{21})}^{2}}{3^{2}}}}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.5.2

Применим правило умножения к $2 \sqrt{21}$ .

$\frac{\sqrt{28 - \frac{2^{2} {\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}}}}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.6.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{28 - \frac{4 {\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}}}}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.6.2

Перепишем ${\sqrt{21}}^{2}$ в виде $21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.6.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{21}$ в виде $21^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{28 - \frac{4 {(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}}}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.6.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{28 - \frac{4 \cdot 21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}}}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.6.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{28 - \frac{4 \cdot 21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.6.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.6.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{28 - \frac{4 \cdot 21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.6.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{28 - \frac{4 \cdot 21^{1}}{3^{2}}}}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.6.2.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{28 - \frac{4 \cdot 21}{3^{2}}}}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.7

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{28 - \frac{4 \cdot 21}{9}}}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.8

Умножим $4$ на $21$ .

$\frac{\sqrt{28 - \frac{84}{9}}}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.9

Сократим общий множитель $84$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.9.1

Вынесем множитель $3$ из $84$ .

$\frac{\sqrt{28 - \frac{3 (28)}{9}}}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.9.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\frac{\sqrt{28 - \frac{3 \cdot 28}{3 \cdot 3}}}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{28 - \frac{3 \cdot 28}{3 \cdot 3}}}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{28 - \frac{28}{3}}}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.10

Чтобы записать $28$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\sqrt{28 \cdot \frac{3}{3} - \frac{28}{3}}}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.11

Объединим $28$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\sqrt{\frac{28 \cdot 3}{3} - \frac{28}{3}}}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{\frac{28 \cdot 3 - 28}{3}}}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.13.1

Умножим $28$ на $3$ .

$\frac{\sqrt{\frac{84 - 28}{3}}}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.13.2

Вычтем $28$ из $84$ .

$\frac{\sqrt{\frac{56}{3}}}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.14

Перепишем $\sqrt{\frac{56}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{56}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{56}}{\sqrt{3}}}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.15

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.15.1

Перепишем $56$ в виде $2^{2} \cdot 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.15.1.1

Вынесем множитель $4$ из $56$ .

$\frac{\frac{\sqrt{4 (14)}}{\sqrt{3}}}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.15.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 14}}{\sqrt{3}}}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.15.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{\frac{2 \sqrt{14}}{\sqrt{3}}}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.16

Умножим $\frac{2 \sqrt{14}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{14}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.17

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.17.1

Умножим $\frac{2 \sqrt{14}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.17.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.17.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.17.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.17.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.17.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.17.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.17.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.17.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.17.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.17.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.17.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{3}}{3^{1}}}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.17.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{3}}{3}}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.18

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.18.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\frac{2 \sqrt{3 \cdot 14}}{3}}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.1.18.2

Умножим $3$ на $14$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{42}}{3}}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{2 \sqrt{42}}{3} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{42}$ .

$\frac{2 (\sqrt{42})}{3} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.3.2

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{7}$ .

$\frac{2 (\sqrt{42})}{3} \cdot \frac{1}{2 (\sqrt{7})}$

Этап 8.3.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{42}}{3} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{42}}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{7}}$

Этап 8.3.4

Умножим $\frac{\sqrt{42}}{3}$ на $\frac{1}{\sqrt{7}}$ .

$\frac{\sqrt{42}}{3 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.5

Объединим $\sqrt{42}$ и $\sqrt{7}$ под одним знаком корня.

$\frac{\sqrt{\frac{42}{7}}}{3}$

Этап 8.3.6

Сократим общий множитель $42$ и $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.6.1

Вынесем множитель $7$ из $42$ .

$\frac{\sqrt{\frac{7 \cdot 6}{7}}}{3}$

Этап 8.3.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.6.2.1

Вынесем множитель $7$ из $7$ .

$\frac{\sqrt{\frac{7 \cdot 6}{7 (1)}}}{3}$

Этап 8.3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{\frac{7 \cdot 6}{7 \cdot 1}}}{3}$

Этап 8.3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{\frac{6}{1}}}{3}$

Этап 8.3.6.2.4

Разделим $6$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{6}}{3}$

Этап 9

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа эллипса.

Центр: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 2 \sqrt{7})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2 \sqrt{7})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{2 \sqrt{42}}{3})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{2 \sqrt{42}}{3})$

Эксцентриситет: $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Этап 10