Основы мат. анализа Примеры

$1 = \frac{18 x^{2}}{x^{4} + 81}$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $\frac{18 x^{2}}{x^{4} + 81} = 1$ .

$\frac{18 x^{2}}{x^{4} + 81} = 1$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{4} + 81, 1$

Этап 2.2

Избавимся от скобок.

$x^{4} + 81, 1$

Этап 2.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x^{4} + 81$

Этап 3

Каждый член в $\frac{18 x^{2}}{x^{4} + 81} = 1$ умножим на $x^{4} + 81$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{18 x^{2}}{x^{4} + 81} = 1$ на $x^{4} + 81$ .

$\frac{18 x^{2}}{x^{4} + 81} (x^{4} + 81) = 1 (x^{4} + 81)$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $x^{4} + 81$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{18 x^{2}}{x^{4} + 81} (x^{4} + 81) = 1 (x^{4} + 81)$

Этап 3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$18 x^{2} = 1 (x^{4} + 81)$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $x^{4} + 81$ на $1$ .

$18 x^{2} = x^{4} + 81$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $x^{4}$ из обеих частей уравнения.

$18 x^{2} - x^{4} = 81$

Этап 4.2

Вычтем $81$ из обеих частей уравнения.

$18 x^{2} - x^{4} - 81 = 0$

Этап 4.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $18 x^{2} - x^{4} - 81$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Изменим порядок $18 x^{2}$ и $- x^{4}$ .

$- x^{4} + 18 x^{2} - 81 = 0$

Этап 4.3.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{4}$ .

$- (x^{4}) + 18 x^{2} - 81 = 0$

Этап 4.3.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $18 x^{2}$ .

$- (x^{4}) - (- 18 x^{2}) - 81 = 0$

Этап 4.3.1.4

Перепишем $- 81$ в виде $- 1 (81)$ .

$- (x^{4}) - (- 18 x^{2}) - 1 \cdot 81 = 0$

Этап 4.3.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{4}) - (- 18 x^{2})$ .

$- (x^{4} - 18 x^{2}) - 1 \cdot 81 = 0$

Этап 4.3.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{4} - 18 x^{2}) - 1 (81)$ .

$- (x^{4} - 18 x^{2} + 81) = 0$

Этап 4.3.2

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$- ({(x^{2})}^{2} - 18 x^{2} + 81) = 0$

Этап 4.3.3

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$- (u^{2} - 18 u + 81) = 0$

Этап 4.3.4

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Перепишем $81$ в виде $9^{2}$ .

$- (u^{2} - 18 u + 9^{2}) = 0$

Этап 4.3.4.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$18 u = 2 \cdot u \cdot 9$

Этап 4.3.4.3

Перепишем многочлен.

$- (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 9 + 9^{2}) = 0$

Этап 4.3.4.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 9$ .

$- {(u - 9)}^{2} = 0$

Этап 4.3.5

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$- {(x^{2} - 9)}^{2} = 0$

Этап 4.3.6

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$- {(x^{2} - 3^{2})}^{2} = 0$

Этап 4.3.7

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$- {((x + 3) (x - 3))}^{2} = 0$

Этап 4.3.8

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.8.1

Применим правило умножения к $(x + 3) (x - 3)$ .

$- ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}) = 0$

Этап 4.3.8.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- {(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$

Этап 4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

${(x - 3)}^{2} = 0$

Этап 4.5

Приравняем ${(x + 3)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем ${(x + 3)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Этап 4.5.2

Решим ${(x + 3)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 4.5.2.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 4.6

Приравняем ${(x - 3)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем ${(x - 3)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Этап 4.6.2

Решим ${(x - 3)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 4.6.2.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- {(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$ верно.

$x = - 3, 3$