Основы мат. анализа Примеры

$(- \frac{1}{5}, (\frac{2 \sqrt{6}}{5}))$

Этап 1

Чтобы найти экспоненциальную функцию, $f (x) = a^{x}$ , график которой проходит через заданную точку, приравняем функцию $f (x)$ значению $\frac{2 \sqrt{6}}{5}$ , $y$ в заданной точке, а $x$ приравняем значению $- \frac{1}{5}$ , $x$ в заданной точке.

$\frac{2 \sqrt{6}}{5} = a^{- \frac{1}{5}}$

Этап 2

Решим уравнение относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $a^{- \frac{1}{5}} = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$ .

$a^{- \frac{1}{5}} = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

Этап 2.2

Возведем обе части уравнения в степень $- 5$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(a^{- \frac{1}{5}})}^{- 5} = {(\frac{2 \sqrt{6}}{5})}^{- 5}$

Этап 2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Упростим ${(a^{- \frac{1}{5}})}^{- 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(a^{- \frac{1}{5}})}^{- 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a^{- \frac{1}{5} \cdot - 5} = {(\frac{2 \sqrt{6}}{5})}^{- 5}$

Этап 2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{5}$ в числитель.

$a^{\frac{- 1}{5} \cdot - 5} = {(\frac{2 \sqrt{6}}{5})}^{- 5}$

Этап 2.3.1.1.1.2.2

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$a^{\frac{- 1}{5} \cdot (5 (- 1))} = {(\frac{2 \sqrt{6}}{5})}^{- 5}$

Этап 2.3.1.1.1.2.3

Сократим общий множитель.

$a^{\frac{- 1}{5} \cdot (5 \cdot - 1)} = {(\frac{2 \sqrt{6}}{5})}^{- 5}$

Этап 2.3.1.1.1.2.4

Перепишем это выражение.

$a^{- 1 \cdot - 1} = {(\frac{2 \sqrt{6}}{5})}^{- 5}$

Этап 2.3.1.1.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$a^{1} = {(\frac{2 \sqrt{6}}{5})}^{- 5}$

Этап 2.3.1.1.2

Упростим.

$a = {(\frac{2 \sqrt{6}}{5})}^{- 5}$

Этап 2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим ${(\frac{2 \sqrt{6}}{5})}^{- 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Изменим знак экспоненты, переписав основание в виде обратной величины.

$a = {(\frac{5}{2 \sqrt{6}})}^{5}$

Этап 2.3.2.1.2

Умножим $\frac{5}{2 \sqrt{6}}$ на $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$a = {(\frac{5}{2 \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}})}^{5}$

Этап 2.3.2.1.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.3.1

Умножим $\frac{5}{2 \sqrt{6}}$ на $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$a = {(\frac{5 \sqrt{6}}{2 \sqrt{6} \sqrt{6}})}^{5}$

Этап 2.3.2.1.3.2

Перенесем $\sqrt{6}$ .

$a = {(\frac{5 \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})})}^{5}$

Этап 2.3.2.1.3.3

Возведем $\sqrt{6}$ в степень $1$ .

$a = {(\frac{5 \sqrt{6}}{2 ({\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6})})}^{5}$

Этап 2.3.2.1.3.4

Возведем $\sqrt{6}$ в степень $1$ .

$a = {(\frac{5 \sqrt{6}}{2 ({\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1})})}^{5}$

Этап 2.3.2.1.3.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$a = {(\frac{5 \sqrt{6}}{2 {\sqrt{6}}^{1 + 1}})}^{5}$

Этап 2.3.2.1.3.6

Добавим $1$ и $1$ .

$a = {(\frac{5 \sqrt{6}}{2 {\sqrt{6}}^{2}})}^{5}$

Этап 2.3.2.1.3.7

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.3.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$a = {(\frac{5 \sqrt{6}}{2 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{5}$

Этап 2.3.2.1.3.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a = {(\frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{5}$

Этап 2.3.2.1.3.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$a = {(\frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{2}{2}}})}^{5}$

Этап 2.3.2.1.3.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.3.7.4.1

Сократим общий множитель.

$a = {(\frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{2}{2}}})}^{5}$

Этап 2.3.2.1.3.7.4.2

Перепишем это выражение.

$a = {(\frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{1}})}^{5}$

Этап 2.3.2.1.3.7.5

Найдем экспоненту.

$a = {(\frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6})}^{5}$

Этап 2.3.2.1.4

Умножим $2$ на $6$ .

$a = {(\frac{5 \sqrt{6}}{12})}^{5}$

Этап 2.3.2.1.5

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.5.1

Применим правило умножения к $\frac{5 \sqrt{6}}{12}$ .

$a = \frac{{(5 \sqrt{6})}^{5}}{12^{5}}$

Этап 2.3.2.1.5.2

Применим правило умножения к $5 \sqrt{6}$ .

$a = \frac{5^{5} {\sqrt{6}}^{5}}{12^{5}}$

Этап 2.3.2.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.6.1

Возведем $5$ в степень $5$ .

$a = \frac{3125 {\sqrt{6}}^{5}}{12^{5}}$

Этап 2.3.2.1.6.2

Перепишем ${\sqrt{6}}^{5}$ в виде $\sqrt{6^{5}}$ .

$a = \frac{3125 \sqrt{6^{5}}}{12^{5}}$

Этап 2.3.2.1.6.3

Возведем $6$ в степень $5$ .

$a = \frac{3125 \sqrt{7776}}{12^{5}}$

Этап 2.3.2.1.6.4

Перепишем $7776$ в виде $36^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.6.4.1

Вынесем множитель $1296$ из $7776$ .

$a = \frac{3125 \sqrt{1296 (6)}}{12^{5}}$

Этап 2.3.2.1.6.4.2

Перепишем $1296$ в виде $36^{2}$ .

$a = \frac{3125 \sqrt{36^{2} \cdot 6}}{12^{5}}$

Этап 2.3.2.1.6.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$a = \frac{3125 \cdot 36 \sqrt{6}}{12^{5}}$

Этап 2.3.2.1.6.6

Умножим $3125$ на $36$ .

$a = \frac{112500 \sqrt{6}}{12^{5}}$

Этап 2.3.2.1.7

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.7.1

Возведем $12$ в степень $5$ .

$a = \frac{112500 \sqrt{6}}{248832}$

Этап 2.3.2.1.7.2

Сократим общий множитель $112500$ и $248832$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.7.2.1

Вынесем множитель $36$ из $112500 \sqrt{6}$ .

$a = \frac{36 (3125 \sqrt{6})}{248832}$

Этап 2.3.2.1.7.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.7.2.2.1

Вынесем множитель $36$ из $248832$ .

$a = \frac{36 (3125 \sqrt{6})}{36 (6912)}$

Этап 2.3.2.1.7.2.2.2

Сократим общий множитель.

$a = \frac{36 (3125 \sqrt{6})}{36 \cdot 6912}$

Этап 2.3.2.1.7.2.2.3

Перепишем это выражение.

$a = \frac{3125 \sqrt{6}}{6912}$

Этап 3

Подставим каждое значение $a$ в функцию $f (x) = a^{x}$ , чтобы найти каждую возможную экспоненциальную функцию.

$f (x) = {(\frac{3125 \sqrt{6}}{6912})}^{x}$