Основы мат. анализа Примеры

$(- 2, - \sqrt{2})$

Этап 1

Чтобы найти экспоненциальную функцию, $f (x) = a^{x}$ , график которой проходит через заданную точку, приравняем функцию $f (x)$ значению $- \sqrt{2}$ , $y$ в заданной точке, а $x$ приравняем значению $- 2$ , $x$ в заданной точке.

$- \sqrt{2} = a^{- 2}$

Этап 2

Решим уравнение относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $a^{- 2} = - \sqrt{2}$ .

$a^{- 2} = - \sqrt{2}$

Этап 2.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{a^{2}} = - \sqrt{2}$

Этап 2.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$a^{2}, 1$

Этап 2.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$a^{2}$

Этап 2.4

Каждый член в $\frac{1}{a^{2}} = - \sqrt{2}$ умножим на $a^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим каждый член $\frac{1}{a^{2}} = - \sqrt{2}$ на $a^{2}$ .

$\frac{1}{a^{2}} a^{2} = - \sqrt{2} a^{2}$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Сократим общий множитель $a^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{a^{2}} a^{2} = - \sqrt{2} a^{2}$

Этап 2.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = - \sqrt{2} a^{2}$

Этап 2.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем уравнение в виде $- \sqrt{2} a^{2} = 1$ .

$- \sqrt{2} a^{2} = 1$

Этап 2.5.2

Разделим каждый член $- \sqrt{2} a^{2} = 1$ на $- \sqrt{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Разделим каждый член $- \sqrt{2} a^{2} = 1$ на $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- \sqrt{2} a^{2}}{- \sqrt{2}} = \frac{1}{- \sqrt{2}}$

Этап 2.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\sqrt{2} a^{2}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{- \sqrt{2}}$

Этап 2.5.2.2.2

Сократим общий множитель $\sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{2} a^{2}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{- \sqrt{2}}$

Этап 2.5.2.2.2.2

Разделим $a^{2}$ на $1$ .

$a^{2} = \frac{1}{- \sqrt{2}}$

Этап 2.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$a^{2} = \frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{2}}$

Этап 2.5.2.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$a^{2} = - \frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 2.5.2.3.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$a^{2} = - (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Этап 2.5.2.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$a^{2} = - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 2.5.2.3.3.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$a^{2} = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 2.5.2.3.3.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$a^{2} = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 2.5.2.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$a^{2} = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 2.5.2.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$a^{2} = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 2.5.2.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$a^{2} = - \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.5.2.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a^{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.5.2.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$a^{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.5.2.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$a^{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.5.2.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$a^{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 2.5.2.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$a^{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 2.5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$a = \pm \sqrt{- \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Этап 2.5.4

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{\sqrt{2}}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Перепишем $- 1$ в виде $i^{2}$ .

$a = \pm \sqrt{i^{2} \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Этап 2.5.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$a = \pm i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

Этап 2.5.4.3

Перепишем $\sqrt{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}$ .

$a = \pm i \frac{\sqrt{\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}$

Этап 2.5.4.4

Перепишем $\sqrt{\sqrt{2}}$ в виде $\sqrt[4]{2}$ .

$a = \pm i \frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 2.5.4.5

Умножим $\frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$a = \pm i (\frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Этап 2.5.4.6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.6.1

Умножим $\frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$a = \pm i \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 2.5.4.6.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$a = \pm i \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 2.5.4.6.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$a = \pm i \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 2.5.4.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$a = \pm i \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 2.5.4.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$a = \pm i \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 2.5.4.6.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.6.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$a = \pm i \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.5.4.6.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a = \pm i \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.5.4.6.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$a = \pm i \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.5.4.6.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.6.6.4.1

Сократим общий множитель.

$a = \pm i \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.5.4.6.6.4.2

Перепишем это выражение.

$a = \pm i \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 2.5.4.6.6.5

Найдем экспоненту.

$a = \pm i \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.5.4.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.7.1

Перепишем это выражение, используя наименьший общий индекс $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.7.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$a = \pm i \frac{\sqrt[4]{2} \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 2.5.4.7.1.2

Перепишем $2^{\frac{1}{2}}$ в виде $2^{\frac{2}{4}}$ .

$a = \pm i \frac{\sqrt[4]{2} \cdot 2^{\frac{2}{4}}}{2}$

Этап 2.5.4.7.1.3

Перепишем $2^{\frac{2}{4}}$ в виде $\sqrt[4]{2^{2}}$ .

$a = \pm i \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt[4]{2^{2}}}{2}$

Этап 2.5.4.7.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$a = \pm i \frac{\sqrt[4]{2 \cdot 2^{2}}}{2}$

Этап 2.5.4.7.3

Умножим $2$ на $2^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.7.3.1

Умножим $2$ на $2^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.7.3.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$a = \pm i \frac{\sqrt[4]{2^{1} \cdot 2^{2}}}{2}$

Этап 2.5.4.7.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$a = \pm i \frac{\sqrt[4]{2^{1 + 2}}}{2}$

Этап 2.5.4.7.3.2

Добавим $1$ и $2$ .

$a = \pm i \frac{\sqrt[4]{2^{3}}}{2}$

Этап 2.5.4.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.8.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$a = \pm i \frac{\sqrt[4]{8}}{2}$

Этап 2.5.4.8.2

Объединим $i$ и $\frac{\sqrt[4]{8}}{2}$ .

$a = \pm \frac{i \sqrt[4]{8}}{2}$

Этап 2.5.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$a = \frac{i \sqrt[4]{8}}{2}$

Этап 2.5.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$a = - \frac{i \sqrt[4]{8}}{2}$

Этап 2.5.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$a = \frac{i \sqrt[4]{8}}{2}, - \frac{i \sqrt[4]{8}}{2}$

Этап 2.6

Окончательный ответ — список значений без мнимых компонентов. Поскольку все решения мнимые, вещественного решения нет.

Нет решения

Этап 3

Поскольку вещественных решений нет, экспоненциальную функцию найти невозможно.

Невозможно найти экспоненциальную функцию