Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 4 x^{4} - 24 x^{3} + 35 x^{2} + 6 x - 9$

Этап 1

Перегруппируем члены.

$f (x) = - 24 x^{3} + 6 x + 4 x^{4} + 35 x^{2} - 9$

Этап 2

Вынесем множитель $- 6 x$ из $- 24 x^{3} + 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $- 6 x$ из $- 24 x^{3}$ .

$f (x) = - 6 x (4 x^{2}) + 6 x + 4 x^{4} + 35 x^{2} - 9$

Этап 2.2

Вынесем множитель $- 6 x$ из $6 x$ .

$f (x) = - 6 x (4 x^{2}) - 6 x \cdot - 1 + 4 x^{4} + 35 x^{2} - 9$

Этап 2.3

Вынесем множитель $- 6 x$ из $- 6 x (4 x^{2}) - 6 x (- 1)$ .

$f (x) = - 6 x (4 x^{2} - 1) + 4 x^{4} + 35 x^{2} - 9$

Этап 3

Перепишем $4 x^{2}$ в виде ${(2 x)}^{2}$ .

$f (x) = - 6 x ({(2 x)}^{2} - 1) + 4 x^{4} + 35 x^{2} - 9$

Этап 4

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$f (x) = - 6 x ({(2 x)}^{2} - 1^{2}) + 4 x^{4} + 35 x^{2} - 9$

Этап 5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2 x$ и $b = 1$ .

$f (x) = - 6 x ((2 x + 1) (2 x - 1)) + 4 x^{4} + 35 x^{2} - 9$

Этап 5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 x^{4} + 35 x^{2} - 9$

Этап 6

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 {(x^{2})}^{2} + 35 x^{2} - 9$

Этап 7

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} + 35 u - 9$

Этап 8

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot - 9 = - 36$ , а сумма — $b = 35$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Вынесем множитель $35$ из $35 u$ .

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} + 35 (u) - 9$

Этап 8.1.2

Запишем $35$ как $- 1$ плюс $36$

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} + (- 1 + 36) u - 9$

Этап 8.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} - 1 u + 36 u - 9$

Этап 8.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} - 1 u + 36 u - 9$

Этап 8.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + u (4 u - 1) + 9 (4 u - 1)$

Этап 8.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 u - 1$ .

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + (4 u - 1) (u + 9)$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + (4 x^{2} - 1) (x^{2} + 9)$

Этап 10

Перепишем $4 x^{2}$ в виде ${(2 x)}^{2}$ .

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + ({(2 x)}^{2} - 1) (x^{2} + 9)$

Этап 11

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + ({(2 x)}^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 9)$

Этап 12

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 9)$

Этап 13

Вынесем множитель $(2 x + 1) (2 x - 1)$ из $- 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 9)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Вынесем множитель $(2 x + 1) (2 x - 1)$ из $- 6 x (2 x + 1) (2 x - 1)$ .

$f (x) = (2 x + 1) (2 x - 1) (- 6 x) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 9)$

Этап 13.2

Вынесем множитель $(2 x + 1) (2 x - 1)$ из $(2 x + 1) (2 x - 1) (- 6 x) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 9)$ .

$f (x) = (2 x + 1) (2 x - 1) (- 6 x + x^{2} + 9)$

Этап 14

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$f (x) = (2 x + 1) (2 x - 1) (- 6 u + u^{2} + 9)$

Этап 15

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Переставляем члены.

$f (x) = (2 x + 1) (2 x - 1) (u^{2} - 6 u + 9)$

Этап 15.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$f (x) = (2 x + 1) (2 x - 1) (u^{2} - 6 u + 3^{2})$

Этап 15.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$6 u = 2 \cdot u \cdot 3$

Этап 15.4

Перепишем многочлен.

$f (x) = (2 x + 1) (2 x - 1) (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2})$

Этап 15.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 3$ .

$f (x) = (2 x + 1) (2 x - 1) {(u - 3)}^{2}$

Этап 16

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$f (x) = (2 x + 1) (2 x - 1) {(x - 3)}^{2}$